正态分布习题集 · 题目篇

写出正态分布Nμσ2Nμσ2的概率密度函数（PDF），解释参数含义。

aichitang2024

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aichitang2024 · 2025-05-04 14:45:47 发布

正态分布习题集 · 题目篇

全面覆盖单变量正态、多变量正态、参数估计、假设检验、变换以及应用，共 20 题，从基础到进阶。完成后请移步《答案与解析篇》。

1. 基础定义与性质（5题）

1.1 密度函数

写出正态分布 $N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)$ 的概率密度函数（PDF），解释参数含义。

1.2 标准正态变换

给定 $\sim N(\mu,\sigma^2)$ ，写出将 $X$ 标准化为 $\sim N(0,1)$ 的变换公式，并证明 $Z$ 确实服从标准正态分布。

1.3 主要性质

填表给出正态分布 $N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)$ 的 (1) 期望值 (2) 方差 (3) 偏度 (4) 峰度 (5) 熵。

1.4 正态和

证明：若 $X1∼N(μ1,σ12)X_1 \sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$ 且 $X2∼N(μ2,σ22)X_2 \sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$ 相互独立，则 $X1+X2∼N(μ1+μ2,σ12+σ22)X_1 + X_2 \sim N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)$ 。

1.5 边缘正态

若 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，证明其边缘分布 $X$ 和 $Y$ 也是正态的。

2. 理论推导与关键结果（5题）

2.1 矩生成函数

推导正态分布 $N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)$ 的矩生成函数（MGF），并由此计算前四阶矩。

2.2 最大熵原理

证明：在所有均值为 $μ\mu$ 、方差为 $σ2\sigma^2$ 的连续分布中，正态分布 $N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)$ 具有最大熵。

2.3 Q函数与误差函数

建立标准正态 CDF 与误差函数 $erf(x)\text{erf}(x)$ 的关系，并计算 $P (X > 1.5)$ 其中 $\sim N(0,1)$ 。

2.4 切比雪夫不等式对比

对于 $\sim N(0,1)$ ，计算：
a) 切比雪夫不等式给出的 $P (∣ X ∣ > 2)$ 上界；
b) 真实概率 $P (∣ X ∣ > 2)$ 。

2.5 条件分布

设 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，相关系数为 $ρ\rho$ 。求 $Y ∣ X = x$ 的条件分布。

3. 参数估计与信赖区间（4题）

3.1 估计器比较

样本 $X1,X2,…,Xn∼i.i.d.N(μ,σ2)X_1,X_2,\ldots,X_n \stackrel{i.i.d.}{\sim} N(\mu,\sigma^2)$ ，比较以下 $σ2\sigma^2$ 估计器的表现：
a) $σ^12=1n∑i=1n(Xi−Xˉ)2\hat{\sigma}^2_1 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$ ；
b) $σ^22=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2\hat{\sigma}^2_2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$ 。

3.2 充分统计量

证明：对于正态总体， $(Xˉ,S2)(\bar{X}, S^2)$ 是 $(μ,σ2)(\mu, \sigma^2)$ 的充分统计量。

3.3 区间估计

样本 $X1,X2,…,Xn∼i.i.d.N(μ,σ2)X_1,X_2,\ldots,X_n \stackrel{i.i.d.}{\sim} N(\mu,\sigma^2)$ ， $σ2\sigma^2$ 已知。
a) 导出 $μ\mu$ 的 $1−α1-\alpha$ 置信区间；
b) 若 $σ2\sigma^2$ 未知， $μ\mu$ 的置信区间如何变化？

3.4 Bayesian 估计

设先验 $μ∼N(μ0,τ2)\mu \sim N(\mu_0, \tau^2)$ ， $σ2\sigma^2$ 已知，观测 $X1,…,Xn∼N(μ,σ2)X_1,\ldots,X_n \sim N(\mu,\sigma^2)$ ，求 $μ\mu$ 的后验分布。

4. 多变量正态与变换（3题）

4.1 二维正态型态

写出二维正态分布 $(X, Y)$ 的 PDF，并解释协方差矩阵中各参数对等高线形状的影响。

4.2 线性变换

设 $X∼N(μ,Σ)\mathbf{X} \sim N(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ 为 $k$ 维正态向量， $A\mathbf{A}$ 为 $\times k$ 矩阵。证明 $Y=AX\mathbf{Y = AX}$ 服从 $m$ 维正态分布，并给出其均值向量和协方差矩阵。

4.3 独立性与相关性

对多元正态分布，证明：分量间的不相关性与独立性等价。

5. 应用与检验（3题）

5.1 假设检验功效

某检验判断样本均值是否不等于 100： $H0:μ=100H_0: \mu = 100$ vs $H1:μ≠100H_1: \mu \neq 100$ 。总体标准差为 15，样本量 $n = 25$ ，显著性水平 $α=0.05\alpha = 0.05$ 。若真实均值为 $μ=105\mu = 105$ ，计算此检验的功效（power）。

5.2 正态性检验

简述 3 种检验数据是否服从正态分布的方法，并说明各自适用场景。

5.3 抗体检测

实验室测量了 9 名患者的抗体水平（单位：µg/mL）：22.3, 24.8, 19.7, 23.2, 20.5, 24.1, 21.3, 22.9, 23.8。
假设数据服从正态分布：
a) 构造抗体水平均值的 95% 置信区间；
b) 检验抗体均值是否大于 20 µg/mL（单侧 $α=0.05\alpha=0.05$ ）。

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