在数学中，“suprema” 和 “supremum” 是相关的术语，分别表示某个集合的上确界（或上界中最小的元素）。具体来说，Supremum 是一个集合的上确界，是该集合所有上界中的最小值。Suprema 是 supremum 的复数形式，表示多个集合的上确界。它们在分析、优化等领域有广泛应用，帮助定义和计算函数的上界。

Supremum

Supremum 是一个集合的上确界，表示该集合的所有上界中最小的一个。对于给定的非空集合 ( $S$ )（通常是实数集的子集），如果 ( $u$ ) 满足以下两个条件：

1. ( $u$ ) 是 $(S)$ 的上界：对于所有 ( x $\in$ S )，都有 ( x $\le$ u )。
2. ( $u$ ) 是所有上界中最小的：对于任何上界 ( $v$ )（即对于所有 ( $x\in S$ )，都有 ( $x\le v$ )，都有 ( $u\le v$ )。

那么，( $u$ ) 就被称为 ( $S$ ) 的 上确界 或 supremum，记作 ( $\sup S$ )。

Supremum 和 Supremum 的关系

• Suprema 是 supremum 的复数形式。即如果有多个集合 ( $S_1,S_2,\dots ,S_n$ )，则它们的上确界分别是 ( $\sup S_1,\sup S_2,\dots ,\sup S_n$ )。这些上确界的复数形式称为 suprema。
• Supremum 是单数形式，表示单个集合的上确界。

示例

1. 有限集合：

   设 ( S={3,5,7}S = \{3, 5, 7\}S={3,5,7} )。集合 ( $S$ ) 的上界包括所有大于或等于7的数，例如8、9、10等等。上界中最小的数是7，因此 ( $\sup S=7$ )。

2. 无限集合：

   设 ( $S=(0,1)$ )，即所有介于0和1之间的实数。任何大于1的数都是 ( $S$ ) 的上界，但最小上界是1，因此 ( $\sup S=1$ )。

3. 无界集合：

   设 ( S={x∈R∣x<1}S = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 1\}S={x∈R∣x<1} )。对于这个集合，1是上界，但不是最大上界。任意大于1的数都可以是上界，但它们没有最小值，这种情况下我们可以认为 ( $\sup S=1$ )。

Supremum 和 Maximum 的关系

• Maximum（最大值）：若 ( $S$ ) 的最大元素 ( $m$ ) 存在，则 ( $m$ ) 是 ( $S$ ) 中的一个元素，并且 ( $x\le m$ ) 对于所有 ( $x\in S$ ) 成立。此时 ( $\sup S=\max S=m$ )。
• Supremum（上确界）：若 ( S ) 没有最大元素，但存在上确界 ( u )，则 ( u ) 不一定是 ( S ) 的元素，但仍满足 ( x \leq u ) 对于所有 ( x \in S ) 成立。

常见符号

在数学中，supremum 通常用以下符号表示：

• ( $\sup S$ )
• ( ${\sup }_{x\in S}f(x)$ ) （表示函数 ( $f$ ) 在集合 ( $S$ ) 上的上确界）