一元二次方程解法

一元二次方程定义：
$a{x}^2+bx+c=0(a,b,c\in R,且a\ne 0)$

韦达定理

方程两个根$x_1,x_2$有以下性质：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

通用解法

求根公式：
$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

十字交叉法

将二元一次方程转化为：$(x-A)(x-B)=0$的形式，则两个根为：
$x_1=A$
$x_2=B$

例子

$x^2-7x+12=0$
使用求根公式解：
$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{7\pm \sqrt{7^2-4\times 1\times 12}}{2\times 1}=\frac{7\pm 1}{2}$
$\therefore$ $x_1=4$, $x_2=3$

使用十字交叉法：
两根之和为7，两根之积为12，可以拆成如下形式
(x-3)(x-4)=0
$\therefore$ $x_1=4$, $x_2=3$

十字交叉法局限性

十字交叉法是根据韦达定理来猜两个根，如果根是分式或者无理数则不好猜。
比如解$x^2-6x+6=0$就失效了。

新的解决方案

最近国外发表最新一元二次方差的求根方案，不用猜，直接可以使用十字交叉法解方程。

假设首项系数为1，一元二次方程为：$x^2-2Bx+C=0$（注意这里是2B，方便下面表示）。由于两根满足下式：
$x_1+x_2=2B$
$x_1{x}_2=C$

那不妨设两根分别为 $B+u$，$B-u$，则两根之积可以表示为：
$(B+u)(B-u)=B^2-u^2$

由于两根之积为 $C$
所以：$B^2-u^2=C$
可以解得：$u=\pm \sqrt{B^2-C}$

那么两根就显而易见了：
$x_1=B+\sqrt{B^2-C}$
$x_2=B-\sqrt{B^2-C}$

现在我们回过头来解：$x^2-6x+6=0$
设两根分别为$3+u和3-u$，那么$(3+u)(3-u)=9-u^2=7$
解得$u=\pm \sqrt{2}$
则两根分别为：
$x_1=3+\sqrt{2}$
$x_2=3-\sqrt{2}$

这个方法是不是简单的多。