本文所用的例子引自《机器学习》，周志华。

ID3决策树

ID3中的ID，是Iterative Dichotomiser的简称。 ID3是一种经典的基于信息增益的决策树学习算法。

信息熵

信息熵是度量样本集合纯度最常用的一种指标。假定当前样本集合$D$中第$k$类样本所占的比例为$p_k(k=1,2,\dots ,|\mathcal{Y}|)$，则$D$的信息熵被定义为：
$$\mathrm{Ent}(D)=-\sum _{k=1}^{|\mathcal{Y}|}{p}_k{\log }_2{p}_k$$

信息增益

假定离散属性$a$有$V$个可能的取值$\left\{a^1,a^2,\dots ,a^V\right\}$, 若使用$a$来对样本集$D$进行划分，则会产生$V$个分支结点，其中第$v$个分支结点包含了$D$中所有在属性$a$上取值为$a^v$的样本，记做$D^v$.我们可以根据上式计算出$D^v$的信息熵，考虑到不同分支结点所包含的样本数不同，给分支结点赋予权重$\left|D^v\right|/|D|$， 即样本数越多的分支结点影响越大，于是可计算出用属性$a$对样本集$D$进行划分所获得的“信息增益”(information gain)
$$\mathrm{Gain}(D,a)=\mathrm{Ent}(D)-\sum _{v=1}^V\frac{\left|D^v\right|}{|D|}\mathrm{Ent}\left(D^v\right)$$

ID3决策树

ID3决策树使用每次的信息增益来进行决策树的划分属性选择。

举例

以该西瓜集为例：

西瓜显然分为分为好瓜和坏瓜，所以$|\mathcal{Y}|=2$。在决策树学习开始阶段，根节点包含所有$D$中的样例，其中正例占$p_1=\frac{8}{17}$，反例占$p_2=\frac{9}{17}$。于是，根据公式可以计算得出根节点的信息熵为：
$$\mathrm{Ent}(D)=-\sum _{k=1}^2{p}_k{\log }_2{p}_k=-\left(\frac{8}{17}{\log }_2\frac{8}{17}+\frac{9}{17}{\log }_2\frac{9}{17}\right)=0.998$$

随后，我们计算当前属性集合{色泽，根蒂，敲声，纹理，脐部，触感}中每个属性的信息增益。我们以属性“色泽”为例，它有3个可能的取值：{青绿，乌黑，浅白}。若使用该属性对$D$进行划分，则可以得到3个子集，分别记为$D^1$(色泽=青绿)，$D^2$（色泽=乌黑），$D^3$(色泽=浅白)。

子集$D^1$中包含6个样例，编号为1，4，6，10，13，17。其中正例占$p_1=\frac{3}{6}$，反例占$p_2=\frac{3}{6}$。$D^2$正反例占$p_1=\frac{4}{6},p_2=\frac{2}{6}$. $D^3$正反例占$p_1=\frac{1}{5},p_2=\frac{4}{5}$。可以计算出用“色泽”划分后三个分支结点的信息熵：

$$\mathrm{Ent}\left(D^1\right)=-\left(\frac{3}{6}{\log }_2\frac{3}{6}+\frac{3}{6}{\log }_2\frac{3}{6}\right)=1.000$$

$$\mathrm{Ent}\left(D^2\right)=-\left(\frac{4}{6}{\log }_2\frac{4}{6}+\frac{2}{6}{\log }_2\frac{2}{6}\right)=0.918$$

$$\mathrm{Ent}\left(D^3\right)=-\left(\frac{1}{5}{\log }_2\frac{1}{5}+\frac{4}{5}{\log }_2\frac{4}{5}\right)=0.722$$

于是可以计算得到属性“色泽”的信息增益：
$$\begin{array}{rl}\mathrm{Gain}(D,\text{ 色泽 })& =\mathrm{Ent}(D)-\sum _{v=1}^3\frac{\left|D^v\right|}{|D|}\mathrm{Ent}\left(D^v\right)\\ & =0.998-\left(\frac{6}{17}\times 1.000+\frac{6}{17}\times 0.918+\frac{5}{17}\times 0.722\right)\\ & =0.109.\end{array}$$

类似的，可以计算出其他属性的信息增益：
$$\begin{array}{l}\mathrm{Gain}(D,\text{ 根蒂 })=0.143;\mathrm{Gain}(D,\text{ 敲声 })=0.141\\ \mathrm{Gain}(D,\text{ 纹理 })=0.381;\mathrm{Gain}(D,\text{ 脐部 })=0.289\\ \mathrm{Gain}(D,\text{ 触感 })=0.006.\end{array}$$

显然，纹理的信息增益最大，应该选择“纹理”作为划分属性。随后依次对纹理划分得到的分支结点递归进行类似上面的计算，不断选择最优属性进行划分，直到递归结束（无属性可用，或样本划分标签一致）