基于上界的滑模控制

系统描述

  考虑二阶非线性系统如下：$$\ddot{\theta }=f(\theta ,\dot{\theta })+g(\theta ,\dot{\theta })u+d(\theta ,\dot{\theta },t)\text{\hspace{1em}(1)}$$其中，$|d(\theta ,\dot{\theta },t)|\le D。$

控制器设计

  取理想位置指令为${\theta }_d$，则误差为$e={\theta }_d-\theta$。定义滑模函数$$s=\dot{e}+ce,c>0\text{\hspace{1em}(2)}$$
对滑模面求导得到：$$\dot{s}=\ddot{e}+c\dot{e}={\ddot{\theta }}_d-f-gu-d+c\dot{e}\text{\hspace{1em}(3)}$$滑模控制器设计为：$$u=\frac{1}{g}(-f+{\ddot{\theta }}_d+c\dot{e}+\eta sign(s))\text{\hspace{1em}(4)}$$
  取李雅普诺夫函数$$V=\frac{1}{2}{s}^2\text{\hspace{1em}(5)}$$则$$\dot{V}=s\dot{s}=s({\ddot{\theta }}_d-f-gu-d+c\dot{e})=-sd-\eta |s|\text{\hspace{1em}(6)}$$取$\eta \ge D,\eta =D+{\eta }_0,{\eta }_0>0$则$$\dot{V}=-sd-\eta |s|\le -{\eta }_0|s|\le 0\text{\hspace{1em}(7)}$$当$\dot{V}\equiv 0$时，$s\equiv 0$，此时闭环系统渐进稳定。

仿真实例

  倒立摆非线性模型如下：$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_1& =x_2\\ {\dot{x}}_2& =f(x_1,x_2)+g(x_1,x_2)u\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$其中$$\begin{array}{rl}f(x_1,x_2)& =\frac{gsin{x}_1-ml{x}_2^{2}cos{x}_{1}sin{x}_1/(m_c+m)}{l(4/3-mco{s}^2{x}_1/(m_c+m))}\\ g(x_1,x_2)& =\frac{cos{x}_1/(m_c+m)}{l(4/3-mco{s}^2{x}_1/(m_c+m))}\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$其中，$u$为加在小车上的控制力；$m_c=1kg$和$m=0.1kg$分别为小车和摆的质量；$l=0.5m$为摆杆旋转点到摆杆中心点的长度；$x_1=\theta$为摆杆的位置；$x_2=\dot{\theta }$为摆杆的转动角度；$g$为重力加速度。
  simulink模型如下：
其中非线性函数程序如下：

function f = fcn(x2,x1)
%% 参数定义
g   = 9.8;
mc  = 1;
m   = 0.1;
l   = 0.5;
%% 计算f(x1,x2)
f1 = g*sin(x1)-m*l*x2^2*cos(x1)*sin(x1)/(mc+m);
f2 = l*(4/3-m*cos(x1)^2/(mc_m));
f = f1/f2;

function y = fcn(x1,u)
%% 参数定义
mc  = 1;
m   = 0.1;
l   = 0.5;
%% 计算g(x1,x2)
y1 = cos(x1)/(mc+m);
y2 = l*(4/3-m*cos(x1)^2/(mc_m));
g = y1/y2;
y = g*u;

  根据式（4）设计滑模控制器，取$c=1.5,\eta =0.2$则得到滑模面和控制律$$\begin{array}{rl}s& =\dot{e}+1.5e\\ u& =\frac{1}{g}(-f+{\ddot{\theta }}_d+c\dot{e}+0.2sign(s))\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$
  构建滑模控制器程序如下：
  注：其中$g$的计算是为了避免simulink建模过程中引入代数环

function u = fcn(f,x1,de,s,ddthd)
%% 参数定义
c   = 1.5;
eta = 0.2;
mc  = 1;
m   = 0.1;
l   = 0.5;
%% 计算g(x1,x2)
y1 = cos(x1)/(mc+m);
y2 = l*(4/3-m*cos(x1)^2/(mc+m));
g = y1/y2;
%% 控制律计算
u = (-f+ddthd+c*de+eta*sign(s))/g;

  得到完整控制系统模型、位置响应曲线以及相轨迹：

基于准滑动模态的滑模控制

  准滑动模态指的是系统运动轨迹被限制在理想滑动模态某一邻域$\Delta$内的模态，通常称$\Delta$内的区域为滑动模态切换面的边界层。在连续系统中，常用的准滑动模态有以下两种方法：
（1）用饱和函数$sat(s)$，代替符号函数$sign(s)$：$$sat(s)=\{\begin{array}{rlr}& 1& s>\Delta \\ & ks& |s|\le \Delta \\ & -1& s<\Delta \end{array},k=\frac{1}{\Delta }\text{\hspace{1em}(11)}$$其中，$\Delta$称为边界层，饱和函数的本质为：在边界层外，采用切换控制；在边界层内，采用线性反馈控制。
（2）采用继电特性进行连续化，用连续函数$\theta (s)$取代$sign(s)$：$$\theta (s)=\frac{s}{|s|+\delta }\text{\hspace{1em}(12)}$$其中，$\delta$很小的正常数。

仿真实例

  与上例选择相同被控对象，但为了消除抖振，采用饱和函数$sat(s)$代替符号函数$sign(s)$：$$sat(s)=\{\begin{array}{rlr}& 1& s>\Delta \\ & ks& |s|\le \Delta \\ & -1& s<\Delta \end{array},k=\frac{1}{\Delta }\text{\hspace{1em}(13)}$$
选取$\Delta =0.05$，构建新的滑模控制器程序如下：

function u = fcn(f,x1,de,s,ddthd)
%% 参数定义
c   = 1.5;
eta = 0.2;
mc  = 1;
m   = 0.1;
l   = 0.5;
delta = 0.05;
%% 计算g(x1,x2)
y1 = cos(x1)/(mc+m);
y2 = l*(4/3-m*cos(x1)^2/(mc+m));
g = y1/y2;
%% 饱和函数
if s>delta
    sat = 1;
elseif s<-delta
    sat = -1;
else
    sat = s/delta;
end
%% 控制律计算
u = (-f+ddthd+c*de+eta*sat)/g;

仿真结果如下：

从图中可以看到，采用准滑动模态的方式，控制律的抖动明显减小，相轨迹在也不会在滑模面附近进行切换，抖振现象得到了抑制。