15 傅里叶级数
文章目录1 傅里叶级数三角级数.正交函数系二 以2π2\pi2π为周期的函数的傅里叶级数theorem 15.2三 收敛定理1 傅里叶级数new here!!!三角级数.正交函数系new here!!!二 以2π2\pi2π为周期的函数的傅里叶级数new here!!!theorem 15.2f(x)=a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)(9)f(x)=\fra...
1 傅里叶级数
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三角级数.正交函数系
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定理15.1
- 若级数
∣ a 0 ∣ 2 + ∑ n = 1 ∞ ( ∣ a n ∣ + ∣ b n ∣ ) \frac{|a_0|}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(|a_n|+|b_n|) 2∣a0∣+n=1∑∞(∣an∣+∣bn∣) - 收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛
证
- 用M判别法(定理13.5)就OK！
为进一步研究(4)的收敛性,先看(5)具有哪些特性
易看出,三角函数系(5)中所有函数有共同的周期 2 π 2\pi 2π
(5)中,两个不相同的函数的积在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π]上的积分都等于零
∫ − π π cos n x d x = ∫ − π π cos n x d x (6) \int_{-\pi}^{\pi}\cos nxdx=\int_{-\pi}^{\pi}\cos nxdx\tag{6} ∫−ππcosnxdx=∫−ππcosnxdx(6)
∫ − π π cos m x cos n x d x = 0 ( m ≠ n ) (7) \int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\cos nxdx=0(m\not=n)\tag{7} ∫−ππcosmxcosnxdx=0(m=n)(7)
∫ − π π sin m x sin n x d x = ( m ≠ n ) (7) \int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nxdx=(m\not=n)\tag{7} ∫−ππsinmxsinnxdx=(m=n)(7)
∫ − π π cos m x sin n x d x = 0 (7) \int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\sin nxdx=0\tag{7} ∫−ππcosmxsinnxdx=0(7)
- 任一个函数的平方在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π]上的积分都不等于零,即
∫ − π π cos 2 n x d x = ∫ − π π sin 2 n x d x π (8) \int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 nxdx=\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 nxdx\pi\tag{8} ∫−ππcos2nxdx=∫−ππsin2nxdxπ(8)
∫ − π π 1 2 d x (8) \int_{-\pi}^{\pi}1^2dx\tag{8} ∫−ππ12dx(8)
若 φ \varphi φ与 ψ \psi ψ在 [ a , b ] [a,b] [a,b]可积,
- 且
∫ a b φ ( x ) ψ ( x ) d x = 0 \int_a^b\varphi(x)\psi(x)dx=0 ∫abφ(x)ψ(x)dx=0 - 则称 φ \varphi φ与 ψ \psi ψ在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上是正交的.
- 三角函数系(5)在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π]上有正交性,
- 称(5)是正交函数系
二 以 2 π 2\pi 2π为周期的函数的傅里叶级数
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theorem 15.2
- 在整个数轴上
f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) (9) f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\tag{9} f(x)=2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)(9) - 右边级数一致收敛,则有:
a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos n x d x , n = 0 , 1 开 始 (10a) a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx,n=0,1开始\tag{10a} an=π1∫−ππf(x)cosnxdx,n=0,1开始(10a)
b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x , n = 1 开 始 (10b) b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx,n=1开始\tag{10b} bn=π1∫−ππf(x)sinnxdx,n=1开始(10b)
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若 f f f以 2 π 2\pi 2π为周期且在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π]上可积的函数,
- 则按(10)算出的 a n a_n an和 b n b_n bn f f f(关于三角函数系)的傅里叶系数,
- 以 f f f的傅里叶系数为系数的三角级数(9)称为 f f f(关于三角函数系)的傅里叶级数
- 记作
f ( x ) ∼ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) (12) f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\tag{12} f(x)∼2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)(12)
“~”:右是左的傅里叶级数.
- 由15.2知若(9)右边在整个数轴上一致收敛 f f f,则此三角级数就是 f f f的傅里叶级数,
- 此时(12)中的“~”可换为=.
- 从以 2 π 2\pi 2π为周期且在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π]上可积的 f f f出发,
- 按(10)求出其傅里叶系数并得到傅里叶级数(12),
- 这时还需讨论此级数是否收敛,以及如果收敛,是否收敛于 f f f本身.
- 这是下一段所要叙述的
三 收敛定理
定理15.3
- 2 π 2\pi 2π为周期的函数 f f f在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π]上按段光滑,
- 则
f ( x + 0 ) + f ( x − 0 ) 2 = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx) 2f(x+0)+f(x−0)=2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)。
f f f导在 [ a , b ] [a,b] [a,b]连续,称 f f f在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上光滑.
- 定义在
- [ a , b ] [a,b] [a,b]上除至多有有限个第一类间断点
- f f f导在[a,b]上除了至多有限个点外
- 都存在且连续,
- 在这有限个点上 f ′ f' f′的左、右极限存在,
- 称在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上按段光滑
若 f f f在[a,b]上按段光滑,则有如下重要性质
- f f f在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可积
- 在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上每点都存在 f ( x ± 0 ) f(x\plusmn 0) f(x±0),且有
lim t → 0 + f ( x + t ) − f ( x + 0 ) t = f ′ ( x + 0 ) (13) \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x+t)-f(x+0)}{t}=f'(x+0)\tag{13} t→0+limtf(x+t)−f(x+0)=f′(x+0)(13)
lim t → 0 + f ( x − t ) − f ( x + 0 ) − t = f ′ ( x − 0 ) (13) \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x-t)-f(x+0)}{-t}=f'(x-0)\tag{13} t→0+lim−tf(x−t)−f(x+0)=f′(x−0)(13) - 补充 f ′ f' f′在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上那些至多有限个不存在点上
- 的值后(仍记 f ′ f' f′) f ′ f' f′在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可积
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2 以 2 l 2l 2l为周期的函数的展开式
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3 收敛定理的证明
- 为证收敛定理,
- 先证下面两个预备定理
(贝塞尔(Bessel)不等式)
- 若 f f f在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π]上可积,则
a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 + b n 2 ) ≤ 1 π ∫ − π π f 2 ( x ) d x (1) \frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)\le \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)dx\tag{1} 2a02+n=1∑∞(an2+bn2)≤π1∫−ππf2(x)dx(1) - a n , b n a_n,b_n an,bn为f的傅里叶系数
证
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f f f以 2 π 2\pi 2π为周期
- 且在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π]上可积,则它的傅里叶级数部分和 S n ( x ) S_n(x) Sn(x)可写成
S n ( x ) = 1 π ∫ − π π f ( x + t ) sin ( n + 1 2 ) t 2 sin t 2 d t (8) S_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t)\frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}}dt\tag{8} Sn(x)=π1∫−ππf(x+t)2sin2tsin(n+21)tdt(8)
- 当 t = 0 t=0 t=0,被积函数中的不定式为
lim t → 0 ∫ − π π f ( x + t ) sin ( n + 1 2 ) t 2 sin t 2 = n + 1 2 \lim_{t\to 0}\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t)\frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}}=n+\frac{1}{2} t→0lim∫−ππf(x+t)2sin2tsin(n+21)t=n+21
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现证(收敛定理),重述如下:
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