【时间序列分析】序列趋势分析公式总结
Time Series Analysisauthor：zoxiii序列趋势分析1、线性拟合（1）基本思想（2）公式2、曲线拟合（1）基本思想（2）二次型拟合公式（3）指数型拟合公式3、移动平均法（1）基本思想（2）n期中心移动平均法：分析趋势n为奇数n为偶数（3）n期移动平均法：预测（4）n期中心移动平均法---> 提取低阶趋势对xt=a+bt+εtx_t=a+bt+\varepsilon_
Time Series Analysis
author：zoxiii
序列趋势分析
- 1、线性拟合
- 2、曲线拟合
- 3、移动平均法
-
- （1）基本思想
- （2）n期中心移动平均法：分析趋势
- （3）n期移动平均法：预测
- （4）n期中心移动平均法---> 提取低阶趋势
-
- 对 x t = a + b t + ε t x_t=a+bt+\varepsilon_t xt=a+bt+εt进行 n = 2 k + 1 n=2k+1 n=2k+1期的中心移动平均
- 对 x t = a + b t + c t 2 + ε t x_t=a+bt+ct^2+\varepsilon_t xt=a+bt+ct2+εt进行 n = 2 k + 1 n=2k+1 n=2k+1期的中心移动平均
- 对 x t = a + b t + c t 2 + ε t x_t=a+bt+ct^2+\varepsilon_t xt=a+bt+ct2+εt进行 n = 2 k n=2k n=2k期的中心移动平均
- 4、指数平滑法
【参考文献】王燕. 应用时间序列分析-第5版[M]. 中国人民大学出版社, 2019.
1、线性拟合
（1）基本思想
当序列的时序图出现显著的线性特征时，可使用线性模型去拟合
（2）公式
x t = a + b t + I t x_t=a+bt+I_t xt=a+bt+It
E ( I t ) = 0 , V a r ( I t ) = σ 2 E(I_t)=0,Var(I_t)=\sigma^2 E(It)=0,Var(It)=σ2
其中随机波动： { I t } \{I_t\} {It}
消除随机波动的影响之后该序列的长期趋势： T t = a + b t T_t=a+bt Tt=a+bt
2、曲线拟合
（1）基本思想
当序列的时序图出现非线性特征时，可使用曲线模型去拟合
（2）二次型拟合公式
x t = a + b t + c t 2 + I t 或 x t = a + c t 2 + I t x_t=a+bt+ct2+I_t~~或~~x_t=a+ct2+I_t xt=a+bt+ct2+It 或 xt=a+ct2+It
t 2 = t 2 t2=t^2 t2=t2
E ( I t ) = 0 , V a r ( I t ) = σ 2 E(I_t)=0,Var(I_t)=\sigma^2 E(It)=0,Var(It)=σ2
（3）指数型拟合公式
T t = a b t T_t=ab^t Tt=abt
取对数，令
T t ′ = l n T t , a ′ = l n a , b ′ = l n b , T_t'=lnT_t,a'=lna,b'=lnb, Tt′=lnTt,a′=lna,b′=lnb,
得到
T t ′ = a ′ + b ′ t T_t'=a'+b't Tt′=a′+b′t
3、移动平均法
（1）基本思想
用一定时间间隔之间的平均值作为某一期的估计值
如何确定n？
- 考虑n=周期长度，如4、12
- 考虑平滑性，n越大拟合曲线越平滑
- 考虑趋势近期敏感程度，n越小趋势对近期变化越敏感
（2）n期中心移动平均法：分析趋势
n为奇数
x ~ t = 1 n ( x t − n − 1 2 + x t − n − 1 2 + 1 + . . . + x t + n − 1 2 ) \widetilde x_t=\frac{1}{n}(x_{t-\frac{n-1}{2}}+x_{t-\frac{n-1}{2}+1}+...+x_{t+\frac{n-1}{2}}) x t=n1(xt−2n−1+xt−2n−1+1+...+xt+2n−1)
n为偶数
x ~ t = 1 n ( 1 2 x t − n 2 + x t − n 2 + 1 + . . . + x t − n 2 − 1 + 1 2 x t + n 2 ) \widetilde x_t=\frac{1}{n}(\frac{1}{2}x_{t-\frac{n}{2}}+x_{t-\frac{n}{2}+1}+...+x_{t-\frac{n}{2}-1}+\frac{1}{2}x_{t+\frac{n}{2}}) x t=n1(21xt−2n+xt−2n+1+...+xt−2n−1+21xt+2n)
（3）n期移动平均法：预测
x ~ t = 1 n ( x t + x t − 1 + . . . + x t − n + 1 ) \widetilde x_t=\frac{1}{n}(x_t+x_{t-1}+...+x_{t-n+1}) x t=n1(xt+xt−1+...+xt−n+1)
（4）n期中心移动平均法—> 提取低阶趋势
对 x t = a + b t + ε t x_t=a+bt+\varepsilon_t xt=a+bt+εt进行 n = 2 k + 1 n=2k+1 n=2k+1期的中心移动平均
x ~ t = 1 2 k + 1 ∑ i = − k k x t + i = 1 2 k + 1 ∑ i = − k k ( a + b t + b i + ε t + i ) = a + b t \widetilde x_t \\ =\cfrac{1}{2k+1}\sum_{i=-k}^{k}x_{t+i} \\ =\cfrac{1}{2k+1}\sum_{i=-k}^{k}(a+bt+bi+\varepsilon_{t+i}) \\ =a+bt x t=2k+11i=−k∑kxt+i=2k+11i=−k∑k(a+bt+bi+εt+i)=a+bt
对 x t = a + b t + c t 2 + ε t x_t=a+bt+ct^2+\varepsilon_t xt=a+bt+ct2+εt进行 n = 2 k + 1 n=2k+1 n=2k+1期的中心移动平均
x ~ t = 1 2 k + 1 ∑ i = − k k x t + i = 1 2 k + 1 ∑ i = − k k ( a + b t + b i + c ( t + i ) 2 + ε t + i ) = a + b t + c t 2 + c k ( k + 1 ) 3 \widetilde x_t \\ =\cfrac{1}{2k+1}\sum_{i=-k}^{k}x_{t+i} \\ =\cfrac{1}{2k+1}\sum_{i=-k}^{k}(a+bt+bi+c(t+i)^2+\varepsilon_{t+i}) \\ =a+bt+ct^2+\cfrac{ck(k+1)}{3} x t=2k+11i=−k∑kxt+i=2k+11i=−k∑k(a+bt+bi+c(t+i)2+εt+i)=a+bt+ct2+3ck(k+1)
- 可以完整地提取二次趋势信息，但拟合序列和原序列会有一个截距的小偏差
对 x t = a + b t + c t 2 + ε t x_t=a+bt+ct^2+\varepsilon_t xt=a+bt+ct2+εt进行 n = 2 k n=2k n=2k期的中心移动平均
x ~ t = 1 2 k [ ∑ i = − k k x t + i − 1 2 ( x t − k + x t + k ) ] = 1 2 k [ ∑ i = − k k ( a + b t + b i + c ( t + i ) 2 + ε t + i ) − 1 2 ( a + b t − b k + c ( t − k ) 2 ) = ε t − k + a + b t + b k + c ( t + k ) 2 + ε t + k ] = 1 2 k [ 2 k a + 2 k b t + 2 k c t 2 + 2 c k 2 ( k + 1 ) 3 − 1 2 ( 2 a + 2 b t + 2 c t 2 + 2 c k 2 ) ] = 1 2 k [ ( 2 k − 1 ) a + ( 2 k − 1 ) b t + ( 2 k − 1 ) c t 2 + 2 3 c k 3 + 2 3 c k 2 − c k 2 ] = 1 2 k [ ( 2 k − 1 ) a + ( 2 k − 1 ) b t + ( 2 k − 1 ) c t 2 + c k 2 ( 2 k − 1 ) 3 ] = 2 k − 1 2 k ( a + b t + c t 2 + c k 2 3 ) \widetilde x_t \\ =\cfrac{1}{2k}[\sum_{i=-k}^{k}x_{t+i}-\cfrac{1}{2}(x_{t-k}+x_{t+k})] \\ =\cfrac{1}{2k}[\sum_{i=-k}^{k}(a+bt+bi+c(t+i)^2+\varepsilon_{t+i})-\cfrac{1}{2}(a+bt-bk+c(t-k)^2)=\varepsilon_{t-k}+a+bt+bk+c(t+k)^2+\varepsilon_{t+k}] \\ =\cfrac{1}{2k}[2ka+2kbt+2kct^2+\cfrac{2ck^2(k+1)}{3}-\cfrac{1}{2}(2a+2bt+2ct^2+2ck^2)] \\ =\cfrac{1}{2k}[(2k-1)a+(2k-1)bt+(2k-1)ct^2+\cfrac{2}{3}ck^3+\cfrac{2}{3}ck^2-ck^2] \\ =\cfrac{1}{2k}[(2k-1)a+(2k-1)bt+(2k-1)ct^2+\cfrac{ck^2(2k-1)}{3}] \\ =\cfrac{2k-1}{2k}(a+bt+ct^2+\cfrac{ck^2}{3}) x t=2k1[i=−k∑kxt+i−21(xt−k+xt+k)]=2k1[i=−k∑k(a+bt+bi+c(t+i)2+εt+i)−21(a+bt−bk+c(t−k)2)=εt−k+a+bt+bk+c(t+k)2+εt+k]=2k1[2ka+2kbt+2kct2+32ck2(k+1)−21(2a+2bt+2ct2+2ck2)]=2k1[(2k−1)a+(2k−1)bt+(2k−1)ct2+32ck3+32ck2−ck2]=2k1[(2k−1)a+(2k−1)bt+(2k−1)ct2+3ck2(2k−1)]=2k2k−1(a+bt+ct2+3ck2)
4、指数平滑法
（1）简单指数平滑
基本思想
适用于既无长期趋势，又无季节效应的序列
对序列修匀
x ~ t = α x t + α ( 1 − α ) x t − 1 + α ( 1 − α ) 2 x t − 2 + . . . \widetilde x_t=\alpha x_t+\alpha(1-\alpha)x_{t-1}+\alpha(1-\alpha)^2x_{t-2}+... x
t=αxt+α(1−α)xt−1+α(1−α)2xt−2+...
x ~ t = α x t + ( 1 − α ) x ~ t − 1 \widetilde x_t=\alpha x_t+(1-\alpha)\widetilde x_{t-1} x
t=αxt+(1−α)x
t−1
平滑系数 0 < α < 1 0 < \alpha < 1 0<α<1
指定 x ~ 0 = x 1 \widetilde x_0=x_1 x 0=x1
未来预测
根据预测公式：
x ^ T + 1 = x ~ T \hat x_{T+1}=\widetilde x_T x^T+1=x
T
x ^ T = x ~ T − 1 \hat x_T=\widetilde x_{T-1} x^T=x
T−1
1期预测值：
x ^ T + 1 = x ~ T = α x T + α ( 1 − α ) x T − 1 + α ( 1 − α ) 2 x T − 2 + . . . = α x T + ( 1 − α ) x ^ T \hat x_{T+1} \\ =\widetilde x_T \\ =\alpha x_T+\alpha(1-\alpha)x_{T-1}+\alpha(1-\alpha)^2x_{T-2}+... \\ =\alpha x_T+(1-\alpha)\hat x_T x^T+1=x
T=αxT+α(1−α)xT−1+α(1−α)2xT−2+...=αxT+(1−α)x^T
2期预测值：
x ^ T + 2 = α x T + 1 + α ( 1 − α ) x T + α ( 1 − α ) 2 x T − 1 + . . . = α x ^ T + 1 + ( 1 − α ) x ^ T + 1 = x ^ T + 1 \hat x_{T+2} \\ =\alpha x_{T+1}+\alpha(1-\alpha)x_T+\alpha(1-\alpha)^2x_{T-1}+... \\ =\alpha \hat x_{T+1}+(1-\alpha)\hat x_{T+1} \\ =\hat x_{T+1} x^T+2=αxT+1+α(1−α)xT+α(1−α)2xT−1+...=αx^T+1+(1−α)x^T+1=x^T+1
即未来预测的值都等于序列平滑的最后一期的值：
x ^ T + l = x ^ T + 1 = x ~ T , l ≥ 2 \hat x_{T+l}=\hat x_{T+1}=\widetilde x_T,l \ge 2 x^T+l=x^T+1=x
T,l≥2
（2）Holt两参数指数平滑
基本思想
适用于有长期趋势，无季节效应的序列
原始数据序列 { x t } \{x_t\} {xt},
趋势序列 { r t } \{r_t\} {rt}
x ^ t = x t − 1 + r t − 1 \hat x_t=x_{t-1}+r_{t-1} x^t=xt−1+rt−1
过去拟合：对原始数据序列和趋势序列修匀
x ~ t = α x t + ( 1 − α ) ( x ~ t − 1 + r t − 1 ) \widetilde x_t=\alpha x_t+(1-\alpha)(\widetilde x_{t-1}+r_{t-1}) x
t=αxt+(1−α)(x
t−1+rt−1)
r t = γ ( x ~ t − x ~ t − 1 ) + ( 1 − γ ) r t − 1 r_t=\gamma(\widetilde x_t-\widetilde x_{t-1})+(1-\gamma)r_{t-1} rt=γ(x
t−x
t−1)+(1−γ)rt−1
平滑系数 0 < α , γ < 1 0 < \alpha,\gamma < 1 0<α,γ<1
指定 x ~ 0 = x 1 , r 0 = x n + 1 − x 1 n \widetilde x_0=x_1,r_0=\frac{x_{n+1}~~-x_1}{n} x 0=x1,r0=nxn+1 −x1
未来预测
向前 l l l步的预测值为：
x ^ T + l = x ~ T + l ∗ r T \hat x_{T+l}=\widetilde x_T+l*r_T x^T+l=x
T+l∗rT
（3）Holt-Winters三参数指数平滑
基本思想
适用于一定有季节效应，但长期趋势可有可无的序列
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