标题：基于数字光栅投影的结构光三维测量技术与系统研究 [博]

单位：华中科技大学

作者：李中伟

年份：2009

注：这里只记了相位出现问题的原因分析，如何校正，看最新论文。

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相位测量轮廓术，误差主要有四个来源：

1. 相移机构的相移误差：

   相移步距不相等，在机械式相移中，相移难避免，但DLP数字式光栅这块误差很小。

2. 随机噪声：

   相移法对随机噪声有较好的抑制，且相位计算前可以通过高斯滤波等图像预处理操作进行滤除。

3. 光栅图像条纹，离散化误差：

   选择合适的光栅图像周期、灰度范围、投影仪和相机的像素比。

4. 光栅图像条纹，非正弦化（主），由两部分引起：投影仪的Gamma非线性曲线、CCD相机的非线性响应

举例：如果投出去的条纹非正弦，那么我们的解码就会有问题，比如说：

• 相邻两个像素点，左边像素投射出去亮度为 148，右边像素同样为 148，那么就很难区分这两个像素点；
• 投射出去条纹非正弦化，解码公式同样存在问题。

01 传递模型

在整个测量过程中，CCD相机拍摄光栅图像的过程如下图所示：

假设由计算机生成并发送到投影仪离线的光栅图像灰度分布：
$$I_n\left(x,y\right)=a_0+b_0\cos \left[\phi \left(x,y\right)+{\delta }_n\right]$$
其中：

• $a_0$：平均亮度
• $b_0$：调制幅值
• $\phi (x,y)$：相位主值
• ${\delta }_n$：第 $i$ 副图像的相移值

经投影仪投射出的光栅灰度分布：
$$I_n^p\left(x,y\right)=f_p\left(I_n(x,y)\right)$$
其中**：$f_p(I)$ 为 $I$ 的函数，代表投影仪对输入光强的响应。**

假设投影仪投射在被测物体上的光栅图像的反射率为 $r(x,y)$，周围的环境光为 $a_1(x,y)$，则被测物体反射回来的光的灰度分布：
$$I_n^o\left(x,y\right)=r\left(x,y\right)\left[I_n^p\left(x,y\right)+a_1\left(x,y\right)\right]$$

注：图案已经变形，灰度分布依旧，所以这里强调的是灰度分布。

经被测物体反射回来的光 $I_n^p(x,y)$ 被 $CCD$ 相机拍摄，假设进入相机的环境光为 $a_2(x,y)$，则相机最终拍摄到的光栅图像的光强分布：
$$I_n^c(x,y)=f_c(I_n^O(x,y)+a_2(x,y))$$
其中**：$f{c}_{(}I)$ 为 $I$ 的函数，代表CCD相机对输入光强的响应。**

联立前面的式子，可得：
$$I_n^c(x,y)=f(I_n(x,y))=f_c(f_p(I_n(x,y)))$$

02 误差原因

这里的误差主要有两部分：

• 对于环境光的干扰，我们采用蓝波波段投影，在相机端加相应的滤色片，去除其他波段的光，从而大幅降低环境光的影响
• 投影仪、相机的非线性响应，引起拍摄到的光栅图像的灰度的非正弦化

注：对于物体表面反射率不一致，相移法通过外差的方法，这种影响，在计算相位解码过程中得到了很大程度的抑制。

对于投影仪的非线性响应，其主要由伽马变换引起。在普通商用投影仪中，由于人眼的非线性感光，伽马变换用来改善投影仪投射图案的视觉效果，可以由指数变换表示：
$$I_n^p(x,y)=[I_n(x,y){]}^{\gamma }$$
CCD相机输入光强与输出电压之间是非线性的，影响较大的是二阶、三阶的非线性响应，可以表示：
$$I_n^c\left(x,y\right)=e_0+e_1\left[I_n^0\left(x,y\right)+a_2\left(x,y\right)\right]+e_2{\left[I_n^0\left(x,y\right)+a_2\left(x,y\right)\right]}^2+e_3{\left[I_n^0\left(x,y\right)+a_2\left(x,y\right)\right]}^3$$

Q：相机为什么出厂前不通过软件做成线性的呢？

可能原因：跟光圈、焦距这些有关，而这些参数是可以调整的，因此无法在出厂就做好。

将前面三个式子结合，滤除掉环境光的干扰，可得：
$$I_n^c\left(x,y\right)=k_0+k_1{\left[I_n\left(x,y\right)\right]}^{\gamma }+k_2{\left[I_n\left(x,y\right)\right]}^{2\gamma }+k_3{\left[I_n\left(x,y\right)\right]}^{3\gamma }$$
由此可见，相机拍摄的光栅图案，存在着高阶（$3\gamma$）的非线性，而光栅图像的非线性表现，表现为图像存在高次谐波，也就是我们常见的水波纹。

03 误差分析

我们实际拍摄到的光栅图案 ^[48,101,102]：
$$I_n^c\left(x,y\right)=f\left(I_n\left(x,y\right)\right)=a_0+\sum _{k=1}^K{a}_k\cos \left(k\left[\phi \left(x,y\right)+{\delta }_n\right]\right)$$
其中：

• $K$：最大谐波次数
• $a_k$：$k$ 次谐波的系数

对这个实际光栅进行解码得到的相位值：
$${\phi }^{\prime }\left(x,y\right)=-\arctan \left[\frac{\sum _{n=0}^{N-1}\left\{a_0+\sum _{k=1}^K{a}_k\cos \left(k\left[\phi \left(x,y\right)+{\delta }_n\right]\right)\right\}\sin \left({\delta }_i\right)}{\sum _{n=0}^{N-1}\left\{a_0+\sum _{k=1}^K{a}_k\cos \left(k\left[\phi \left(x,y\right)+{\delta }_n\right]\right)\right\}\cos \left({\delta }_i\right)}\right]$$
通常，五次以上的高次谐波对相位计算影响非常小，因此，后续计算中 $K$ 的取值：$1-5$。而其是由理想相位值 $\phi$ 与相位误差 $\Delta \phi$ 构成的，即：
$${\phi }^{\prime }\left(x,y\right)=\phi \left(x,y\right)+\Delta \phi \left(x,y\right)$$
对于标准的三步相移，解码得到的相位值：
$${\phi }^{\prime }\left(x,y\right)=\arctan \left[\frac{a_1\sin \left[\phi \left(x,y\right)\right]-a_2\sin \left[2\phi \left(x,y\right)\right]+a_4\sin \left[4\phi \left(x,y\right)\right]-a_5\sin \left[5\phi \left(x,y\right)\right]}{a_1\cos \left[\phi \left(x,y\right)\right]+a_2\cos \left[2\phi \left(x,y\right)\right]-a_4\cos \left[4\phi \left(x,y\right)\right]+a_5\cos \left[5\phi \left(x,y\right)\right]}\right]$$
相位误差：

其中：$c_1$ 和 $c_2$ 为常数，且通常 $c_1$ 要远大于 $c_2$，因此相位误差可近似。

其他步长的相移误差同理可得：

由此可推得：当拍摄的光栅图像存在高次谐波时，由：3步相移算法计算的相位，会出现三倍频的周期误差，4步，四倍频。