逻辑斯谛回归模型

1. 逻辑斯谛分布

定义：设X是连续随机变量，X服从逻辑斯谛分布是指X具有下列分布函数和密度函数：
$$\begin{gathered} F(x)=P(X\le x)=\frac{1}{1+e^{-(x-\mu )/\gamma }} \\ f(x)=F^{\prime }(x)=\frac{e^{-(x-\mu )/\gamma }}{\gamma (1+e^{-(x-\mu )/\gamma }{)}^2} \end{gathered}$$
式中，$\mu$为位置参数，$\gamma >0$为形状参数。

逻辑斯谛分布的密度函数$f(x)$和分布函数$F(x)$的图形如下图所示。分布函数属于逻辑斯谛函数，其图形是一条S形曲线（sigmoid curve）。该函数以点$(\mu ,\frac{1}{2})$为中心对称，即满足
$$F(-x+\mu )-\frac{1}{2}=-F(x-\mu )+\frac{1}{2}$$
曲线在中心附近增长速度较快，在两端增长速度较慢。形状参数$\gamma$的值越小，曲线在中心附近增长得越快。

2. 二项逻辑斯谛回归模型

二项逻辑斯谛回归模型（binomial logistic regression model）是一种分类模型，由条件概率分布$P(Y|X)$表示，形式为参数化的逻辑斯谛分布。这里，随机变量X取值为实数，随机变量Y取值为1或0.这里通过监督学习的方法来估计模型参数。

定义：二项逻辑斯谛回归模型是如下的条件概率分布：
$$\begin{gathered} P(Y=1|x)=\frac{exp(w\cdot x+b)}{1+exp(w\cdot x+b)}(1) \\ P(Y=0|x)=\frac{1}{1+exp(w\cdot x+b)}(2) \end{gathered}$$
这里，$x\in {\mathbf{R}}^n$是输入，Y∈{0,1}Y\in \{0,1\}Y∈{0,1}是输出，$w\in {\mathbf{R}}^n$和$b\in \mathbf{R}$是参数，$w$称为权值向量，b称为偏置，$w\cdot x$为w和x的内积。

对于给定的输入实例x，按照式（1）和式（2）可以求得$P(Y=1|x)$和$P(Y=0|x)$。逻辑斯谛回归比较两个条件概率值的大小，将实例x分到概率值较大的那一类。

有时为了方便，将权值向量和输入向量加以扩充，仍记作$w,x$，即$w=(w^{(1)},w^{(2)},\cdot \cdot \cdot ,w^{(n)},b{)}^T,x=(x^{(1)},x^{(2)},\cdot \cdot \cdot ,x^{(n)},1{)}^T$。这时，逻辑斯谛回归模型如下：
$$\begin{gathered} P(Y=1|x)=\frac{exp(w\cdot x)}{1+exp(w\cdot x)}(3) \\ P(Y=0|x)=\frac{1}{1+exp(w\cdot x)}(4) \end{gathered}$$
查逻辑斯谛回归模型的特点：一个事件的几率（odds）是指该事件发生的概率与该事件不发生的概率的比值。如果事件发生的概率是p，那么该事件发生的几率是$\frac{p}{1-p}$，该事件的对数几率（log odds）或logit函数是
$$logit(p)=log\frac{p}{1-p}$$
对逻辑斯谛回归而言，由式（3）与式（4）得
$$log\frac{P(Y=1|x)}{1-P(Y=1|x)}=w\cdot x$$
这就是说，在逻辑斯谛回归模型中，输出Y=1的对象几率是输入x的线性函数。或者说，输出$Y=1$的对数几率是由输入x的线性函数表示的模型，即逻辑斯谛回归模型。

换一个角度看，考虑对输入x进行分类的线性函数$w\cdot x$，其值域为实数域。注意，这里$x\in {\mathbf{R}}^{n+1},w\in {\mathbf{R}}^{n+1}$。通过逻辑斯谛回归模型定义式（3）可以将线性函数$w\cdot x$转换为概率：
$$P(Y=1|x)=\frac{exp(w\cdot x)}{1+exp(w\cdot x)}$$
这时，线性函数的值越接近正无穷，概率值就越接近1；线性函数的值越接近负无穷，概率值就越接近0.这样的模型就是逻辑斯谛回归模型。

3. 模型参数估计

逻辑斯谛回归模型学习时，对于给定的训练数据集T={(x1,y1),(x2,y2),⋅⋅⋅,(xN,yN)}T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),···,(x_N,y_N)\}T={(x1​,y1​),(x2​,y2​),⋅⋅⋅,(xN​,yN​)}，其中，xi∈Rn,yi∈{0,1}x_i\in \bold R^n,y_i\in\{0,1\}xi​∈Rn,yi​∈{0,1}，可以应用极大似然估计法估计模型参数，从而得到逻辑斯谛回归模型。

设：$P(Y=1|x)=\pi (x),P(Y=0|x)=1-\pi (x)$

似然函数为
$$\prod _{i=1}^N[\pi (x_i){]}^{y_i}[1-\pi (x_i){]}^{1-y_i}$$
对数似然函数为
$$\begin{gathered} L(w)=\sum _{i=1}^N[y_{i}log\pi (x_i)+(1-y_i)log(1-\pi (x_i))] \\ =\sum _{i=1}^N[y_{i}log\frac{\pi (x_i)}{1-\pi (x_i)}+log(1-\pi (x_i))] \\ =\sum _{i=1}^N[y_i(w\cdot x_i)-log(1+exp(w\cdot x_i))] \end{gathered}$$
对$L(w)$求极大值，得到w的估计值。

这样，问题就变成了以对数似然函数为目标函数的最优化问题。逻辑斯谛回归学习中通常采用的方法是梯度下降法即拟牛顿法。

假设w的极大似然估计值时$\hat{w}$，那么学到的逻辑斯谛回归模型为
$$\begin{gathered} P(Y=1|x)=\frac{exp(\hat{w}\cdot x)}{1+exp(\hat{w}\cdot x)} \\ P(Y=0|x)=\frac{1}{1+exp(\hat{w}\cdot x)} \end{gathered}$$

4. 多项逻辑斯谛回归

上面介绍的逻辑斯谛回归模型是二项分类模型，用于二类分类。可以将其推广为多项逻辑回归模型（multi-nomial logistic regression model），用于多类分类。假设离散型随机变量Y的取值集合是{1,2,⋅⋅⋅,K}\{1,2,···,K\}{1,2,⋅⋅⋅,K}，那么多项逻辑斯谛回归模型是
$$\begin{gathered} P(Y=k|x)=\frac{exp(w_k\cdot x)}{1+{\sum }_{k=1}^{K-1}exp(w_k\cdot x)},k=1,2,\cdot \cdot \cdot ,K-1 \\ P(Y=K|x)=\frac{1}{1+{\sum }_{k=1}^{K-1}exp(w_k\cdot x)} \end{gathered}$$
这里，$x\in {\mathbf{R}}^{n+1},w_k\in {\mathbf{R}}^{n+1}$。

二项逻辑斯谛回归的参数估计法也可以推广到多项逻辑斯谛回归。