天线阵列引导向量的定义

• 在天线阵列系统中，引导向量（也称为导向矢量）是一个非常重要的概念。它描述了信号从特定方向到达天线阵列时，各个天线单元接收到信号的相对相位和幅度关系。
• 假设天线阵列中有$N$个天线单元，对于一个来自方向$\theta$的远场平面波信号，引导向量$\mathbf{a}(\theta )$是一个$N\times 1$的复数向量。其元素表示每个天线单元接收到的信号相对于参考天线单元（通常是第一个天线单元）的相位延迟和幅度变化。
• 对于均匀线性天线阵列（ULA），如果天线单元间距为$d$，波长为$\lambda$，信号入射角度为$\theta$（相对于阵列法线方向），那么第$n$个天线单元相对于第一个天线单元的相位差为${\phi }_n=-2\pi \frac{d}{\lambda }(n-1)\sin \theta$，$n=1,2,\cdots ,N$。
• 引导向量$\mathbf{a}(\theta )={\left[1,e^{-j{\phi }_1},e^{-j{\phi }_2},\cdots ,e^{-j{\phi }_{N-1}}\right]}^T$，其中$j=\sqrt{-1}$。它的幅度元素通常假设为1（表示没有幅度衰减，在理想情况下），主要体现了相位差的信息。

应用场景和举例

• 信号方向估计（DOA）：
  • 在一个由5个天线单元组成的均匀线性天线阵列（ULA）中，假设天线单元间距$d=\frac{\lambda }{2}$，用于估计信号的入射方向。
  • 根据上述公式，对于给定的入射角度$\theta$，相位差${\phi }_n=-2\pi \frac{d}{\lambda }(n-1)\sin \theta =-\pi (n-1)\sin \theta$。
  • 当$\theta =30^{\circ }$时，计算引导向量$\mathbf{a}(30^{\circ })$。
    • 对于$n=1$，相位差${\phi }_1=0$，对应的元素为$1$。
    • 对于$n=2$，${\phi }_2=-\pi (2-1)\sin 30^{\circ }=-\frac{\pi }{2}$，对应的元素为$e^{-j\frac{\pi }{2}}$。
    • 对于$n=3$，${\phi }_3=-\pi (3-1)\sin 30^{\circ }=-\pi$，对应的元素为$e^{-j\pi }$。
    • 对于$n=4$，${\phi }_4=-\pi (4-1)\sin 30^{\circ }=-\frac{3\pi }{2}$，对应的元素为$e^{-j\frac{3\pi }{2}}$。
    • 对于$n=5$，${\phi }_5=-\pi (5-1)\sin 30^{\circ }=-2\pi$，对应的元素为$e^{-j2\pi }=1$。
  • 所以引导向量$\mathbf{a}(30^{\circ })={\left[1,e^{-j\frac{\pi }{2}},e^{-j\pi },e^{-j\frac{3\pi }{2}},1\right]}^T$。
  • 在信号方向估计中，通过接收信号与不同方向的引导向量进行相关运算，可以估计出信号的实际入射方向。例如，假设接收到的信号向量为$\mathbf{x}$，通过计算$\hat{\theta }=\arg {\max }_{\theta }|{\mathbf{x}}^H\mathbf{a}(\theta )|$来估计信号的入射方向，其中${\mathbf{x}}^H$是$\mathbf{x}$的共轭转置。
• 波束形成：
  • 波束形成的目的是通过调整天线阵列的加权系数，使得阵列的主波束指向期望的信号方向，同时抑制其他方向的干扰信号。
  • 例如，在一个4 - 单元ULA中，天线间距$d=\frac{\lambda }{4}$。如果我们希望主波束指向$\theta =60^{\circ }$方向，首先计算引导向量$\mathbf{a}(60^{\circ })$。
    • 相位差${\phi }_n=-2\pi \frac{d}{\lambda }(n-1)\sin \theta =-\frac{\pi }{2}(n-1)\sin 60^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}\pi }{4}(n-1)$。
    • 对于$n=1$，相位差${\phi }_1=0$，元素为$1$。
    • 对于$n=2$，${\phi }_2=-\frac{\sqrt{3}\pi }{4}$，元素为$e^{-j\frac{\sqrt{3}\pi }{4}}$。
    • 对于$n=3$，${\phi }_3=-\frac{\sqrt{3}\pi }{2}$，元素为$e^{-j\frac{\sqrt{3}\pi }{2}}$。
    • 对于$n=4$，${\phi }_4=-\frac{3\sqrt{3}\pi }{4}$，元素为$e^{-j\frac{3\sqrt{3}\pi }{4}}$。
    • 所以引导向量$\mathbf{a}(60^{\circ })={\left[1,e^{-j\frac{\sqrt{3}\pi }{4}},e^{-j\frac{\sqrt{3}\pi }{2}},e^{-j\frac{3\sqrt{3}\pi }{4}}\right]}^T$。
  • 然后通过设计加权向量$\mathbf{w}$（可以基于引导向量来设计，如最小方差无失真响应波束形成（MVDR）算法），使得输出信号$y={\mathbf{w}}^H\mathbf{x}$在期望方向$\theta =60^{\circ }$得到增强，其中$\mathbf{x}$是天线阵列接收的信号向量。