Q&A

• $\bar{\cdot }$ 符号代表什么？

  在数学和科学中，符号 $\bar{\cdot }$ 通常表示某种特定的操作或属性，具体含义取决于上下文。在您的问题中，$\bar{\cdot }$ 是针对张量或矩阵的符号，其含义可以有以下几种常见解释：

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  1. 频率域表示（t-SVD中的应用）

  在张量奇异值分解（t-SVD）中，$\bar{\mathcal{X}}$ 通常表示通过傅里叶变换或其他类似变换后的结果，例如：

  $$\bar{\mathcal{X}}=\mathcal{L}(\mathcal{X}),$$

  其中 $\mathcal{L}$ 是某种线性变换（如傅里叶变换）。

  具体来说：

  • $\mathcal{X}$ 是时域中的张量，
  • $\bar{\mathcal{X}}$ 是频域中的张量。

  这种记法在 t-SVD 中非常常见，因为频域中的操作（如逐面相乘）更简单。

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  2. 块对角矩阵的切片

  在块对角矩阵或张量分解中，$\bar{\mathcal{X}}$ 可能表示从张量构造的块对角矩阵的一个切片。例如：

  $${\bar{\mathcal{X}}}^{(i)}$$

  表示张量 $\mathcal{X}$ 的第 $i$ 个切片。

  这种记法在涉及块对角矩阵（block diagonal matrix）或块循环矩阵（block circulant matrix）的场景中出现。

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  3. 均值或平均值

  在更广泛的数学上下文中，$\bar{\cdot }$ 有时用于表示均值。例如：

  $$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

  表示一组数据的平均值。

  虽然这种解释更常见于统计学，但在张量领域的上下文中，它并不常用。

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  4. 复共轭（在复数或变换中）

  如果张量或矩阵的元素是复数，$\bar{\mathcal{X}}$ 可能表示其复共轭（complex conjugate）：

  $$\bar{x}=\text{conj}(x),$$

  其中 $\text{conj}(x)$ 表示复数 $x$ 的共轭形式。

  在一些变换（如傅里叶变换）中，复共轭也会使用这个符号。

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块对角矩阵：【block diagonal matrix】

对于 $\mathcal{X}\in {\mathbb{R}}^{n_1\times n_2\times n_3}$，其块对角矩阵定义为：

$$\bar{\mathbf{X}}=bdiag(\bar{\mathcal{X}})=\left[\begin{array}{cccc}{\bar{\mathcal{X}}}^{(1)}& & & \\ & {\bar{\mathcal{X}}}^{(2)}& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\bar{\mathcal{X}}}^{(n_3)}\end{array}\right]$$

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1. 输入：
   • 给定一个三阶张量 $\mathcal{X}\in {\mathbb{R}}^{n_1\times n_2\times n_3}$，它可以看作是包含 $n_3$ 个 $n_1\times n_2$ 矩阵的集合。
   • 每个 ${\bar{\mathcal{X}}}^{(i)}$（即 ${\bar{\mathcal{X}}}^{(1)},{\bar{\mathcal{X}}}^{(2)},\dots ,{\bar{\mathcal{X}}}^{(n_3)}$）是张量在第三维上的一个切片。
2. 输出：
   • 将这些切片 ${\bar{\mathcal{X}}}^{(i)}$ 安排到一个块对角矩阵中。块对角矩阵是一种特殊的矩阵形式：
     • 每个块（子矩阵）位于矩阵的主对角线上。
     • 非对角线的部分全为零。
3. 关键特性：
   • 尺寸：如果每个切片 ${\bar{\mathcal{X}}}^{(i)}$ 的大小是 $n_1\times n_2$，那么块对角矩阵的总大小是 $(n_3\cdot n_1)\times (n_3\cdot n_2)$。
   • 稀疏性：块对角矩阵是一种稀疏矩阵，因为非对角线部分是零。

应用场景：

• 张量分解与运算：
  块对角矩阵的构造是为了将高阶张量的计算问题转化为矩阵运算，从而简化问题的复杂性。
• 信号处理：
  在信号处理或系统分析中，块对角矩阵可以用来表示独立的子系统，方便解耦和分析。
• 机器学习：
  在多任务学习或多模型联合训练中，块对角矩阵常用于表示各任务或模型之间的解耦结构。

块循环矩阵【block circulant matrix】

对于 $\mathcal{X}\in {\mathbb{R}}^{n_1\times n_2\times n_3}$，其块循环矩阵定义为：

$$bcirc(\mathcal{X})=\left[\begin{array}{cccc}{\mathcal{X}}^{(1)}& {\mathcal{X}}^{(n_3)}& \cdots & {\mathcal{X}}^{(2)}\\ {\mathcal{X}}^{(2)}& {\mathcal{X}}^{(1)}& \cdots & {\mathcal{X}}^{(3)}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathcal{X}}^{(n_3)}& {\mathcal{X}}^{(n_3-1)}& \cdots & {\mathcal{X}}^{(1)}\end{array}\right].$$

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定义的含义：

块循环矩阵是一种特殊的矩阵形式，其中矩阵是由张量 $\mathcal{X}$ 的切片（即 ${\mathcal{X}}^{(i)}$）构造的。它的结构具有循环对称性，这种对称性体现在：每一列是前一列向下循环移位。

关键特性：

1. 循环结构：矩阵的行与列都是基于循环规则排列的，这使得块循环矩阵在许多计算中具有对称性优势。
2. 尺寸：如果每个切片的大小为 $n_1\times n_2$，那么块循环矩阵的大小是 $(n_3\cdot n_1)\times (n_3\cdot n_2)$。

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应用场景：

1. 张量计算简化：在张量分解或张量相关计算中，块循环矩阵的结构便于利用线性代数工具进行高效运算。
2. 信号处理：块循环矩阵在离散傅里叶变换（DFT）和卷积计算中广泛应用。
3. 系统建模：可以用于描述具有周期性特性的系统或信号。

张量与张量的乘积【tensor-tensor product】

对于 $\mathcal{A}\in {\mathbb{R}}^{n_1\times n_2\times n_3}$ 和 $\mathcal{B}\in {\mathbb{R}}^{n_1\times n_2\times n_3}$，基于可逆线形变换 $\mathcal{L}$ 的张量-张量乘积定义为：

$$\mathcal{A}{\ast }_{\mathfrak{L}}\mathcal{B}={\mathfrak{L}}^{-1}({\mathcal{A}}_{\mathfrak{L}}\Delta {\mathcal{B}}_{\mathfrak{L}}),$$

其中：

• $\Delta$ 表示“逐面相乘（face-wise product）”，并满足：

  $$\mathcal{C}=\mathcal{A}\Delta \mathcal{B}⟺bdiag(\mathcal{C})=bdiag(\mathcal{A})\cdot bdiag(\mathcal{B}).$$

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在张量代数中，直接定义张量与张量的乘积可能比较复杂，因此需要利用某种“变换”方法简化操作。例如，使用离散傅里叶变换（DFT）、离散余弦变换（DCT）等工具，可以将张量运算转化为更简单的形式。

1. 定义的核心：

   • 张量 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 的乘积是通过某种变换 $\mathfrak{L}$（例如傅里叶变换）来定义的。
   • 具体而言，
     • 先对张量 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 施加 $\mathfrak{L}$，将它们变换到新的域；
     • 然后在这个域中逐面相乘（face-wise product）；
     • 最后通过逆变换 ${\mathfrak{L}}^{-1}$ 回到原来的域。

2. 逐面相乘：

   • 如果我们将张量看成是由多个矩阵切片（每一个“面”）组成的，那么逐面相乘表示的是对应位置的矩阵逐元素相乘。

   • 这一操作可以通过“块对角矩阵”的性质来验证，即：

     $$bdiag(\mathcal{C})=bdiag(\mathcal{A})\cdot bdiag(\mathcal{B}),$$

     其中 $\mathcal{C}$ 是乘积张量。

3. 变换 $\mathfrak{L}$：

   • $\mathfrak{L}$ 是一个线性变换（例如傅里叶变换），用于将张量从原始域转换到一个计算更方便的域。
   • ${\mathfrak{L}}^{-1}$ 是 $\mathfrak{L}$ 的逆变换，将结果变换回原始域。

应用场景：

1. 高效张量运算：
   利用变换可以降低计算复杂度。例如，在傅里叶变换域中，卷积运算可以简化为点乘。
2. 信号与图像处理：
   逐面相乘在处理多通道图像、视频或信号时非常有用。
3. 机器学习中的张量分解：
   此定义可用于优化算法中的张量分解与重建。

张量奇异值分解【t-SVD】

对于任意 $\mathcal{X}\in {\mathbb{R}}^{n_1\times n_2\times n_3}$，它可以被分解为：

$$\mathcal{X}=\mathcal{U}{\ast }_{\mathfrak{L}}\mathcal{S}{\ast }_{\mathfrak{L}}{\mathcal{V}}^T,$$

其中：

• $\mathcal{U}\in {\mathbb{R}}^{n_1\times n_1\times n_3}$，
• $\mathcal{V}\in {\mathbb{R}}^{n_2\times n_2\times n_3}$，
• $\mathcal{S}\in {\mathbb{R}}^{n_1\times n_2\times n_3}$ 是一个 f-对角张量（f-diagonal tensor），
• $(\cdot {)}^T$ 表示张量转置。

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张量奇异值分解（Tensor Singular Value Decomposition, t-SVD）是针对三阶张量的一种分解方法，其目的是将张量分解为三个具有特殊性质的张量 $\mathcal{U}、\mathcal{S}、\mathcal{V}$，类似于矩阵SVD分解。这个分解是基于块对角矩阵或循环矩阵操作的扩展。

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1. 张量分解的形式：
   • $\mathcal{X}：$是需要分解的张量。
   • $\mathcal{U}：$是一个单位张量，类似于矩阵SVD中的左奇异向量矩阵。
   • $\mathcal{S}：$是一个“f-对角张量”，表示在变换域中仅对角元素非零。
   • $\mathcal{V}：$是另一个单位张量，类似于矩阵SVD中的右奇异向量矩阵。
2. 乘法 ${\ast }_{\mathfrak{L}}$ ：
   • 分解中使用的是基于某种变换（如傅里叶变换）的张量乘积。
   • 这意味着在某个域（如频域）中计算，然后通过逆变换回到原始域。
3. f-对角张量：
   • 类似于矩阵SVD中的对角矩阵，f-对角张量是指在变换域中只有对角位置的值是非零的。
4. 张量转置：
   • ${\mathcal{V}}^T$ 表示对张量进行转置操作，这可能是对张量模式的重新排列。

应用场景：

1. 压缩与降维：
   t-SVD 可以用来对高维数据进行降维，从而减少存储和计算开销。
2. 信号与图像处理：
   在视频、图像的压缩与重建中，t-SVD是常用工具。
3. 机器学习与数据分析：
   t-SVD可用于分析张量数据集的潜在结构，例如推荐系统中的多模态数据。

• $\mathcal{U}\in {\mathbb{R}}^{n_1\times n_1\times n_3}$,$\mathcal{S}\in {\mathbb{R}}^{n_1\times n_2\times n_3}$ ，为什么还能用张量乘法？

  1. 为什么 ${\mathcal{U}}_{\mathfrak{L}}\ast \mathcal{S}$ 是可行的？

  张量维数的分析：

  • $\mathcal{U}\in {\mathbb{R}}^{n_1\times n_1\times n_3}$ ：是一个三阶张量，表示一个正交张量。
  • $\mathcal{S}\in {\mathbb{R}}^{n_1\times n_2\times n_3}$ ：是一个 f-对角张量。
  • $\mathcal{U}{\ast }_{\mathfrak{L}}\mathcal{S}$ ：通过 $t-product$（基于张量乘法）定义，最终结果是一个尺寸为 $n_1\times n_2\times n_3$ 的张量。

  张量乘法的规则（t-product 定义）：

  在 t-SVD 中，t-product 的乘法实际上是利用块循环矩阵（block circulant matrix）来实现的。

  1. 将张量转化为块循环矩阵：
     • $\mathcal{U}$ 和 $\mathcal{S}$ 会分别被转化为块循环矩阵：
     • $bcirc(\mathcal{U})\in {\mathbb{R}}^{(n_1{n}_3)\times (n_1{n}_3)}$ ，
     • $bcirc(\mathcal{S})\in {\mathbb{R}}^{(n_1{n}_3)\times (n_2{n}_3)}$ 。
  2. 在块循环矩阵中进行矩阵乘法：
     • $bcirc(\mathcal{U})\cdot bcirc(\mathcal{S})$ ：按照矩阵的规则相乘。
  3. 逆映射回张量形式：
     • 相乘的结果会映射回张量域，恢复成一个 $n_1\times n_2\times n_3$ 的张量。

  2. 为什么不同模式的张量可以相乘？

  第三维度 $n_3$ 的独立性：

  在 t-SVD 的张量乘法中，第三维度$（n_3）$被视为一系列独立的“面”（切片）操作。这意味着：

  • $\mathcal{U}$ 和 $\mathcal{S}$ 的前两维 $n_1$ 和 $n_2$ 决定了“每一面”的形状。
  • $n_3$ 只是控制了切片的数量，实际乘法是在每个切片中完成的。

  逐面相乘：

  在变换域中（如通过离散傅里叶变换），每一个频率切片会被提取出来变成一个矩阵乘法：

  • 对第 i 个切片：

    • ${\mathcal{U}}^{(i)}\in {\mathbb{R}}^{n_1\times n_1}$ ，

    • ${\mathcal{S}}^{(i)}\in {\mathbb{R}}^{n_1\times n_2}$ ，

    • 可以直接进行矩阵乘法：

      $${\mathcal{U}}^{(i)}\cdot {\mathcal{S}}^{(i)}\in {\mathbb{R}}^{n_1\times n_2}.$$

  通过变换与逆变换连接：

  • 在 t-SVD 的乘法中，整个张量的乘法是通过傅里叶变换 $\mathfrak{L}$ 和逆变换 ${\mathfrak{L}}^{-1}$ 实现的。
  • 即：
    • $\mathfrak{L}(\mathcal{U})$ 和 $\mathfrak{L}(\mathcal{S})$ 转化为频率域矩阵。
    • 逐面相乘后再通过逆变换 ${\mathcal{L}}^{-1}$ 回到时域。

  3. 总结

  $\mathcal{U}$ 和 $\mathcal{S}$ 的维数不同，但张量乘法仍然成立，原因在于：

  1. t-product 是基于频率切片逐面相乘的操作： 第三维 $n_3$ 被视为切片，操作是针对每个切片完成的，前两维的形状决定了可以相乘。
  2. 块循环矩阵的支持： 通过块循环矩阵扩展了张量乘法的定义，允许不同模式的张量在一起运算。
  3. 变换域定义： 通过傅里叶变换等技术，乘法实质上是矩阵的逐面乘法，兼容了不同模式的张量。

张量核范数【Tensor Nuclear Norm, TNN】

对于 $\mathcal{X}\in {\mathbb{R}}^{n_1\times n_2\times n_3}$，其张量核范数定义为：

$$\Vert \mathcal{X}{\Vert }_{\ast }:=\frac{1}{n_3}\sum _{i=1}^{n_3}\Vert {\bar{\mathcal{X}}}^{(i)}{\Vert }_{\ast },$$

进一步展开为：

∥X∥∗=1n3∑i=1n3∑j=1min⁡{n1,n2}σj(Xˉ(i)), \|\mathcal{X}\|_* = \frac{1}{n_3} \sum_{i=1}^{n_3} \sum_{j=1}^{\min\{n_1, n_2\}} \sigma_j(\bar{\mathcal{X}}^{(i)}), ∥X∥∗​=n3​1​i=1∑n3​​j=1∑min{n1​,n2​}​σj​(Xˉ(i)),

其中：

• ${\bar{\mathcal{X}}}^{(i)}$ 是张量 $\mathcal{X}$ 的第 $i$ 个“频率切片”（通常通过某种变换，例如傅里叶变换得到）。
• $\Vert {\bar{\mathcal{X}}}^{(i)}{\Vert }_{\ast }$ 是矩阵 ${\bar{\mathcal{X}}}^{(i)}$ 的核范数（nuclear norm），即其奇异值的和。
• ${\sigma }_j({\bar{\mathcal{X}}}^{(i)})$ 是矩阵 ${\bar{\mathcal{X}}}^{(i)}$ 的第 $j$ 个奇异值。

定义的含义与背景：

1. 张量核范数的作用：
   • 张量核范数（TNN）是一种衡量张量低秩性质的指标，广泛用于张量分解、压缩、降噪和数据填充等问题中。
   • 该定义通过将三维张量分解为多个矩阵切片$（{\bar{\mathbf{X}}}^{(i)}）$，计算这些切片的核范数（矩阵奇异值之和）的平均值来定义张量的整体核范数。
2. 奇异值的作用：
   • 核范数是矩阵所有奇异值之和，是衡量矩阵秩的松弛形式（即秩的凸近似）。
   • 对每个频率切片计算奇异值之和，反映了张量在不同频率下的低秩特性。
3. 归一化因子 $1/n_3$：
   • 该归一化因子确保张量核范数与张量的第三维（频率维度）的长度无关，便于在不同规模的张量间进行比较。

应用场景：

1. 张量完备性（Tensor Completion）：
   张量核范数可以用于数据填充问题（如视频修复），通过最小化核范数鼓励数据的低秩特性。
2. 信号与图像处理：
   在多通道数据（如彩色图像或视频序列）处理中，TNN是一种常用的正则化工具。
3. 机器学习与数据降维：
   TNN 用于处理高维数据，保留数据的低秩结构，同时去除噪声。

梯度张量【gradient tensor】

对于一个三维张量 $\mathcal{X}$ 属于实数域 $R^{n_1\times n_2\times n_3}$，其沿着第 $k$ 模的梯度张量定义为

$${\mathcal{G}}_k:={\nabla }_k(\mathcal{X})=\mathcal{X}{\times }_k{D}_{n_k},k=1,2,3,$$

其中 $D_{n_k}$ 是一个行循环矩阵，其元素为 $(-1,1,0,\dots ,0)$。

$$D_{n_k}=\left(\begin{array}{ccccc}-1& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& -1& 1& \cdots & 0\\ 0& 0& -1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$$

这里的 ${\mathcal{G}}_k$ 表示沿着第 $k$ 模的梯度张量，${\nabla }_k(\mathcal{X})$ 表示对张量 $\mathcal{X}$ 沿着第 $k$ 模的梯度操作，${\times }_k$ 表示在第 $k$ 模上进行张量乘法。$D_{n_k}$ 是一个行循环矩阵，其第一个元素是 $-1$，第二个元素是 $1$，其余元素都是 $0$，这个矩阵的大小由 $n_k$ 决定。

张量相关总变差范数【tensor correlated total variation norm】

具体来说，对于一个三维张量 $\mathcal{X}\in {\mathbb{R}}^{n_1\times n_2\times n_3}$，其 TCTV 范数定义为：

$$\Vert \mathcal{X}{\Vert }_{TCTV}:=\frac{1}{3}\sum _{k=1}^3\Vert {\mathcal{G}}_k{\Vert }_{\ast ,\mathfrak{L}},$$

其中 $\mathfrak{L}$ 是一个可逆的线性变换，它可以是离散傅里叶变换（DFT）或离散余弦变换（DCT），或者是其他满足条件的可逆线性变换，其对应的变换矩阵满足 $U_{n_3}\times U_{n_3}^{\ast }=U_{n_3}^{\ast }\times U_{n_3}=n_3{I}_{n_3}$。

这里的 $\Vert \cdot {\Vert }_{\ast ,\mathfrak{L}}$ 表示在变换 $\mathfrak{L}$ 下的某种范数，而 ${\mathcal{G}}_k$ 是通过变换 $\mathfrak{L}$ 得到的张量 $\mathcal{X}$ 的变换结果。这个范数的计算涉及到对三个变换结果的范数求和，然后取平均值。