外罚函数法的  是从可行域 S 的外部逼近最优解  ，这样得到的近似最优解只是近似地满足约束条件。对于一些工程实际问题，这样的解是不可接受的，因为它虽是最优解，但并非可行解。

为了使迭代点总是可行的，本文介绍一种方法——内罚函数法。

内罚函数法：

内罚函数法在迭代过程中总是从可行点出发，并保持在可行域内部进行搜索，因此这种方法仅适用于只有不等式约束的最优化问题。

考虑问题：

它的可行域 S 的内部定义为：

罚函数定义为：

其中，参数 r 是很小的正数，B(x) 是定义在 int S 上的非负实值函数，当 x 趋于可行域 S 的边界时， 。

显然，罚函数  对企图脱离可行域的点给予惩罚，相当于在可行域的边界上设置了障碍，不让迭代点穿越到可行域之外，因此，也称为障碍函数（Barrier function）。

下面介绍两种常用的障碍函数：

--------------倒数障碍函数

---------对数障碍函数

由  定义可知，r 取值越小，

问题 的最优解越接近原问题 的最优解。

初始内点的选取：

在内罚函数中，必须先知道一个初始内点  ,如果初始内点不能直观找出，必须要有一个求初始内点的算法。下面介绍一个寻找初始内点的迭代算法，它是基于内罚函数的思想而得到的。

算法步骤：

步骤1：给定初始点  ，初始参数  ，缩小系数 ，允许误差，令 k=1；

步骤2：求解无约束优化问题 得到它的最优解  ;

步骤3：如果 ，迭代停止， 为原问题近似最优解，否则，令，转步骤2。

例题解析：

例题1：利用对数障碍函数求解不等式约束优化问题：

要求 

解：构造罚函数：

当 

最优值为：

例题2：用倒数障碍法求解：

。

解:构造倒数障碍函数：

当 

最优值为：

总结：

内外罚函数法的比较：

	内罚函数法	外罚函数法
初始点	必须在可行域内部	可任取
面对对象	求解不等式约束问题	求解等式约束问题和不等式约束问题
解	近似解和最优解都在可行域内	近似解不属于可行域，最优解有可能落在可行域
罚函数性质	障碍函数在可行域内部可微的阶数与约束函数的相同	罚函数一般只具有一阶偏导数，二阶偏导数在边界上一般不存在

（行文中若有纰漏，希望大家指正）