加法法则

如果集合$A,B$没有重复的元素，那么集合的元素个数满足：
$$|A\cup B|=|A|+|B|$$

| |表示对应集合的元素个数

例如：10张红桃牌和3张方块牌的总数

两个事件没有先后顺序或相互之间互不影响且没有重叠，就能使用加法法则。

容斥原理

如果集合$A,B$中存在重复的元素，那么集合的元素个数满足：
$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$$

例如：20以内的2的倍数和3的倍数

乘法法则

$A,B$两个集合中的元素两两组合的组合数为：
$$|A\times B|=|A|\times |B|$$

例如：扑克牌的4种花色和13个等级

两个事件相互影响或有先后次序，就应当使用乘法法则。

置换

将$n$个事物按顺序进行排列就是置换，置换总数为：
$$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1$$

例如：将$n$张牌进行排列

1. 排列的第1个位置可以有$n$种选择；
2. 排列的第2个位置只有$n-1$种选择；
3. 排列的第3个位置只有$n-2$种选择；
   依此类推：
   排列的第$i$个位置有$n-i+1$种选择
   排列的第$n$个位置有$n-n+1=1$种选择

每个位置选择的牌是满足乘法法则的，所以最终的排列的可能的种类就是：
$$n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times \cdots \times 1=n!$$

阶乘：
$$\begin{gathered} 0!=1 \\ 1!=1=1 \\ 2!=2\times 1=2 \\ 3!=3\times 2\times 1=6 \\ 4!=4\times 3\times 2\times 1=24 \\ 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120 \end{gathered}$$

排列

从具有$n$个元素的集合中取出$k$个元素（不重复）进行排列，排列结果为：
$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$$

例如：从$n$张牌中选出$k$张牌并进行排列

1. 第1个排列位置可以有$n$种选择；
2. 第2个排列位置只有$n-1$种选择；
3. 第3个排列位置只有$n-2$种选择；
   依此类推，第k个排列位置有$n-k+1$种选择；

因此，所有排列的结果的种类共有:
$$n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times \cdots \times (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$$

注意:
$$\begin{gathered} A_n^0=1 \\ {A}_n^1=5 \\ {A}_n^n=n! \end{gathered}$$

组合

从具有$n$个元素的集合中取出$k$个元素（不重复），并且不考虑它们的顺序，组合结果为：
$$C_n^k=\frac{A_n^k}{A_k^k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}$$

例如，从$n$张牌中选出$k$张牌。
从正面直接理解的话可能有点难，我们把这个问题变换一下：如果是求从$n$张牌中选出$k$张牌并进行排列的可能结果的数量的话，就是上述的排列问题，答案是$A_n^k$。
但其实排列问题就包含了组合问题，因为要从$n$张牌中选出$k$张牌进行排列，可以分成两步：

1. 从$n$张牌中选出$k$张牌；
2. 对选出的$k$张牌进行排列；

第一步就是我们这里要计算的组合问题，所以其实$A_n^k=C_n^k\times A_k^k$;
因此，$$C_n^k=\frac{A_n^k}{A_k^k}=\frac{\frac{n!}{(n-k!)}}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}$$

注意：
$$\begin{gathered} C_n^0=1 \\ {C}_n^1=A_n^1=n \\ {C}_n^n=\frac{A_n^n}{A_n^N}=1 \end{gathered}$$

置换、排列、组合之间的关系

组合不考虑顺序，置换和排列考虑顺序；
置换不考虑选取，组合和排列考虑选取；
置换和组合相结合就是排列
置换是所有元素的排列（不选取）
组合是不考虑顺序的排列

这3中只是基本的排列组合问题，除此之外还可以变换出其他一些具体的问题：

重复组合

从$k$种元素中选出$n$个元素（允许种类相同），重复组合的结果为：
$$C_{n-1}^{k-1}$$
解决这种问题的思路是把选取元素的问题，转变成选取间隔的问题。具体如下例：

问：从A, B, C这3中药品中，共选取5粒进行调剂；每种至少有1粒；不考虑药品调剂的顺序；同种药品每粒都相同。
解：

• 准备5个盘子来装每1粒药；则5个盘子之间有4个间隔。在这4个间隔中放入2个隔板，并规定第1个隔板左边是A药品，第2个隔板左边是B药品，第2个隔板右边是C药品。这样就保证了每种药品至少有1粒，而且通过变换2个隔板的位置可以改变每种药品的数量。
• 这样，该问题就变成了在4个间隔中选取2个间隔放入隔板，共有几种选法，这是个组合的问题，答案就是$C_4^2$

分类讨论

问：有5张扑克牌，其中王牌2张，J, Q, K各1张。将这5张牌排成一排，左端或右端至少有一端是王牌的排法有多少种？（u区分大小王牌）
解：可以分成3种情况讨论：

1. 左端是王牌：首先左端的王牌有大小王2种可能，即$C_2^1$，其次，剩余的4张牌的需要进行排列，也就是置换；所以这种情况的结果为：$2\times A_4^4=2\times 4!=48$种
2. 右端是王牌：和上面的情况一样也有48种
3. 两端都是王牌：首先两端的王牌要进行排列，即$A_2^2$；其次，剩余的3张牌也要进行排列，即$A_3^3$；所以这种情况的结果为：$2!\times 3!=12$

因为第1种情况和第2种情况包含了第3种情况，所以计算“至少有一端是王牌”的排列结果，需要将前2种情况相加，并减去第3种情况，即$48+48-12=84$
但这还不是最终结果，因为这前面算的都是排列的结果，即区分了大小王，所以最终的结果需要去掉排列的重复度，即2；因此最终结果为：$84÷2=42$

从反面考虑

上面的题目也可以从反面考虑，即“两端都不是王牌”，然后用所有情况减去这个反面，就得到了题目要的结果。

• “两端都不是王牌”：首先从J, Q, K中选2张进行排列，作为两端的排，即$A_3^2$；然后剩余的3张牌进行排列，即$A_3^3$；最后除以王牌的重复度（不区分大小王），因此结果为：
  $$\frac{A_3^2\times A_3^3}{2}=18$$
• 总的情况：就是5张牌的排列情况，再除以王牌的重复度（不区分大小王），即$\frac{A_5^5}{2}=60$
• 所以最终结果为：$60-18=42$，与上一种解法得出的结果一样。