凑微分公式_全微分方程----03
全微分方程设有①左端可以表示成某个二元函数的微分 ,则称方程①是全微分方程（恰当微分方程），为的一个原函数。 ，以 ，故是①的通解。①是全微分方程，方程①的通解为: 或者 ,其中 C 是任意常数.求解恰当方程的关键就是求原函数. 上面的例题就是采用了凑微分的方法 例子：,∴这是一个全微分方程，设是通解。解法一：,∴解法二：解法三：分项组合...
·
全微分方程
设有
左端可以表示成某个二元函数
以
①是全微分方程，方程①的通解为:
求解恰当方程的关键就是求原函数. 上面的例题就是采用了凑微分的方法
例子：
解法一：
∴
解法二：
解法三：分项组合凑微分法
所以，
积分因子
1 积分因子的定义
设有
求解非恰当微分方程的关键是求积分因子！
例如
（i）可分离变量微分方程：
不一定是恰当微分方程，但是方程两端乘以
得到恰当微分方程
所以，
（ii）方程
这是因为：
2 寻求积分因子的方法
（1）观察法:利用已知的或熟悉的微分式的原函数求积分因子
(2）公式法
解全微分方程②
∴
即
命 题
若
结论(Ⅰ）
有只与x 有关的积分因子的充要条件是
此时，积分因子
证明：
结论(Ⅱ）
有只与 y有关的积分因子的充要条件是
此时，积分因子
证明：
例子：
因为
所以
（2）
∴
常见积分因子：
注意：
例子：
观察得到
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