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前言

今日，同门叫我帮忙算几个偏导数。

题目如下：
$$E_p=\frac{1}{2}K\sum _{k=1}^{10}\left(({\delta }_{Lk}{)}^2+({\delta }_{Rk}{)}^2\right)$$

其中，
$${\delta }_{Lk}=[-u+\phi f_1(k)-\psi x_k]\cos \beta +(-1{)}^{k+1}(v-e\phi +\theta x_k)\sin \beta$$

$${\delta }_{Rk}=[u-\phi f_2(k)+\psi x_k]\cos \beta +(-1{)}^{k+2}(v+e\phi +\theta x_k)\sin \beta$$

$$f_1(k)=\{\begin{array}{ll}a& \text{if }k\text{ is even}\\ b& \text{if }k\text{ is odd}\end{array}$$

$$f_2(k)=\{\begin{array}{ll}a& \text{if }k\text{ is odd}\\ b& \text{if }k\text{ is even}\end{array}$$

$$x_k=\left(\frac{11}{2}-k\right)s$$

求 $Ep$ 分别对$u$, $v$, $\phi$, $\theta$, $\psi$的偏导。

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我手算了一下对$u$的偏导，如下：

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然后，我意识到手算有两个严重问题：
(1)工作量太大，耗时长；
(2)容易出错。

这时，我想起本科上数学课时，老师曾提起过的一款数学计算软件：Mathematica，它可以帮你做几乎所有的数学计算。
不使用MATLAB的原因是：MATLAB只能得到数值解，而我们需要的是解析解。

接下来，我就详细说明一下一个小白如何使用Mathematica来解决以上问题，希望对大家有用！

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1. Mathematica的下载

请参考：Mathematical 下载指导和安装教程

Key Generator在评论区：

网址：Wolfram Mathematica 13 Key Generator Online

2. Mathematica代码

相信大多数人都没有学过Mathematica语法，但是没关系，我们有伟大的ChatGPT !

2.1 首先，我们要将题目中的公式转换为LaTeX格式

因为在向ChatGPT提问时，ChatGPT只能识别LaTeX格式的公式。
但是，我也不懂LaTeX语法，所以我们可以借助MathType来帮忙：
在用MathType打好公式后，点击工具栏中的切换TeX

就可以将其转换为LaTeX格式啦

在把所有公式都转换为LaTeX格式后，就可以向ChatGPT提问啦。

2.2 向ChatGPT提问

提问如下：（截图原因，代码看不清，主要看如何提问）

最终得到的mathematica代码如下：

(* 定义变量和函数 *)
ClearAll["Global`*"]  (* 清除之前的定义，防止干扰 *)
K =.; a =.; b =.; ϕ =.; ψ =.; θ =.; e =.; β =.; s =.; v =.;  (* 定义为未知数 *)

(* 定义函数 *)
f1[k_] := If[EvenQ[k], a, b]
f2[k_] := If[OddQ[k], a, b]
δL[k_] := (-u + ϕ*f1[k] - ψ*x[k])*Cos[β] + (-1)^(k + 1)*(v - e*ϕ + θ*x[k])*Sin[β]
δR[k_] := (u - ϕ*f2[k] + ψ*x[k])*Cos[β] + (-1)^(k + 2)*(v + e*ϕ + θ*x[k])*Sin[β]
x[k_] := (11/2 - k)*s

(* 能量函数 Ep *)
Ep = (1/2)*K*Sum[(δL[k]^2 + δR[k]^2), {k, 1, 10}]

(* 计算偏导数 *)
D[Ep, u]

3. Mathematica运算

将以上代码Copy到Mathematica，并进行一些调整（如：添加FullSimplify、Collect等），最终的代码如下：

(*定义变量和函数*)ClearAll["Global`*"]  (*清除之前的定义，防止干扰*)
K =.; a =.; b =.; \[Phi] =.; \[Psi] =.; \[Theta] =.; e =.; \[Beta] \
=.; s =.; v =.;  (*定义为未知数*)

(*定义函数*)
f1[k_] := If[EvenQ[k], a, b]
f2[k_] := If[OddQ[k], a, b]
\[Delta]L[
  k_] := (-u + \[Phi]*f1[k] - \[Psi]*x[k])*
   Cos[\[Beta]] + (-1)^(k + 1)*(v - e*\[Phi] + \[Theta]*x[k])*
   Sin[\[Beta]]
\[Delta]R[
  k_] := (u - \[Phi]*f2[k] + \[Psi]*x[k])*
   Cos[\[Beta]] + (-1)^(k + 2)*(v + e*\[Phi] + \[Theta]*x[k])*
   Sin[\[Beta]]
x[k_] := (11/2 - k)*s

(*能量函数 Ep*)
Ep = (1/2)*K*Sum[(\[Delta]L[k]^2 + \[Delta]R[k]^2), {k, 1, 10}]

(*计算偏导数*)
FullSimplify[D[Ep, u]]
FullSimplify[D[Ep, v]]
Collect[FullSimplify[D[Ep, \[Phi]]], {u, \[Phi], \[Theta]}]  
FullSimplify[D[Ep, \[Theta]]]
FullSimplify[D[Ep, \[Psi]]]

然后按Shift+Enter运行

运行结果如下：

可以得到各个偏导数：

运行结果与手算结果对比，无误！

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总结

短短几行代码，就能快速并准确无误的计算出结果！
这使我更加坚信：技术改变世界！要解放思想，敢于使用新技术，虽然学习会花费一点时间，但用的时候却节省了大量的时间。