正态分布与均匀分布之间的变换
一、任何分布都能化为[0,1][0,1][0,1]均匀分布 假设FX(a)=p(x≤a)FX(a)=p(x≤a)F_X(a)=p(x\le a)为累积分布函数，f(x)f(x)f(x)为概率密度函数，FX(a)=∫a−∞f(x)dxFX(a)=∫−∞af(x)dxF_X(a)=\int_{-\infty}^af(x)dx，则存在如下等式 P(FX(X)≤a)=P(X≤F−1X(a))=...
一、任何分布都能化为[0,1][0,1][0,1]均匀分布
假设FX(a)=p(x≤a)F_X(a)=p(x\le a)FX(a)=p(x≤a)为累积分布函数，f(x)f(x)f(x)为概率密度函数，FX(a)=∫−∞af(x)dxF_X(a)=\int_{-\infty}^af(x)dxFX(a)=∫−∞af(x)dx，则存在如下等式
P(FX(X)≤a)=P(X≤FX−1(a))=FX(FX−1(a))=aP(F_X(X)\le a)=P(X\le F^{-1}_X(a))=F_X(F^{-1}_X(a))=aP(FX(X)≤a)=P(X≤FX−1(a))=FX(FX−1(a))=a
则累积分布函数Y=FX(X)Y=F_X(X)Y=FX(X)服从[0,1][0,1][0,1]间的均匀分布。
二、通过Box-Muller-Wiener算法，可以实现正态分布与均匀分布之间的转换
1.均匀分布转为正态分布
两个独立的[0,1][0,1][0,1]均匀分布，独立的随机变量为A,BA,BA,B，以其中一个为角度2πA2\pi A2πA，另一个随机变量为半径−2logB\sqrt{-2logB}−2logB作为半径，在极坐标下可以得到一个点(X,Y)(X,Y)(X,Y)，服从二维标准正态分布。
2.正态分布转为均匀分布
正态分布到均匀分布的逆过程可以理解为A=arctan(YX)2π+0.5A=\frac{\arctan(\frac{Y}{X})}{2\pi}+0.5A=2πarctan(XY)+0.5，B=exp(−X2+Y22)B=\exp(-\frac{X^2+Y^2}{2})B=exp(−2X2+Y2)
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