一、莫比乌斯的基础芝士

1. 莫比乌斯函数的定义

即$\mu (x)=\{\begin{array}{ll}0& \exists {\alpha }_i\ge 2\\ (-1{)}^k& \forall {\alpha }_i\le 1\\ 1& x=1\end{array}$。

注：$x$进行质因数分解，得$x={\Pi }_{i=1}^k{p}_i^{{\alpha }_i}$，其中$p_i$为互不相同质数。

2. 莫比乌斯函数的性质

$\epsilon (n)={\sum }_{d|n}\mu (d)$（$\epsilon =\mu \ast 1$），那$\epsilon (n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& else\end{array}$。也就是$[n=1]={\sum }_{d|n}\mu (d)$。

艾弗森记号： 就是$[n=1]$中的中括号，当中间$n=1$成立时，$[n=1]=1$，否则$[n=1]=0$。

补充：$a\ast \epsilon =a$，$a$为任意函数。

二、莫比乌斯函数的两种反演

1. 莫比乌斯反演1

若$F(n)={\sum }_{d|n}f(d)$，则$f(n)={\sum }_{d|n}\mu (d)F(\frac{n}{d})$

（1）第一种证明

${\sum }_{d|n}\mu (d)F(\frac{n}{d})$

$={\sum }_{d|n}\mu (d){\sum }_{i|\frac{n}{d}}f(i)$

$={\sum }_{i|n}f(i){\sum }_{d|\frac{n}{i}}\mu (d)$

$={\sum }_{i|n}f(i)\epsilon (\frac{n}{i})=f(n)$

（2）第二种证明（卷积）

因为设$f\ast 1=F$，求为何$F\ast \mu =f$，已知$\mu \ast 1=\epsilon$。

$F\ast \mu \ast 1=f\ast 1$

$F\ast \epsilon =f\ast 1$（$\mu \ast 1=\epsilon$）

$F=f\ast 1$（$a\ast \epsilon =a$）

狄利克雷（Dirichlet）卷积： 对于两个数论函数$f(x)$与$g(x)$，他们的狄利克雷卷积设为$h(x)$，则$h(x)={\sum }_{ab=x}f(a)g(b)$，即$h(x)={\sum }_{d|x}f(d)g(\frac{x}{d})$，记作$f\ast g=h$。

2. 莫比乌斯反演2

若$F(n)={\sum }_{n|d}f(d)$，则$f(n)={\sum }_{n|d}\mu (\frac{d}{n})F(d)$。

三、“哲理”

• 一般$f$函数不好求，$F$函数好求。