一、由具体问题引出方向导数和梯度的概念

问题：一块长方形的金属板，受热产生如图温度分布场。设一个小虫在板中逃生至某处，问该虫应沿什么方向爬行，才能最快到达凉快的地点?

问题答案：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行。
这就需要我们计算温度分布场中各点沿不同方向的温度变化率，从而确定出温度下降的最快方向。沿不同方向的变化率就是方向导数问题，而下降的最快方向就是梯度问题。

顾名思义，方向导数就是某个方向上的导数。什么是方向？

我们知道：

下图看出，函数f(x,y)的A点在这个方向上也是有切线的，其切线的斜率就是方向导数。

下面正式讨论方向导数。

二、方向导数

设函数z= f(x,y)在点P(x,y)的某一邻域U内有定义，自点P引射线l。设x轴正向到射线l的转角为φ ,并设P’(x +△x,y + △y)为l上的另一点P’∈U。

|PP’I= ρ=√(△x)^2 +(△y)^2，且△z= f(x+△x,y +△y)- f(x,y)，考虑△z/p，当P’沿着l趋于P时,

上述极限是否存在？如果存在，则称这极限为函数在点P沿方向l的方向导数。

定义：函数的增量f(x + △x,y+ △y)- f(x,y)与PP’两点间的距离ρ=√(△x)²+(△y)²之比值，当P’沿着l趋于P时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数在点P沿方向l的方向导数。
记为：

方向导数计算公式：

其中φ为x轴到方向l的转角。

三、梯度

定义：设函数f(x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对每一点P(x^0,y0)∈ D,都可以定出一个向量fx(x0, y0)i十fy(x0, y0)j称为f(x, y)在点P处的梯度，记作gradf(x0, y0)。
梯度是一个矢量，其方向上的方向导数最大，其大小正好是此最大方向导数。

四、例题解析

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