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1. 齐次坐标与变换矩阵

齐次坐标通过添加一个维度（通常为 w 分量）将三维点和向量统一到四维空间，使得旋转和平移可以用单一的 4×4矩阵 表示。其形式为：
$$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{R}& \mathbf{t}\\ 0& 1\end{array}\right]$$
其中：

• $(\mathbf{R})$：3×3的旋转矩阵（描述坐标系的旋转）
• $(\mathbf{t})$：3×1的平移向量（描述坐标系的位移）
• $(0)$：3×1的零向量

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Mermaid矩阵结构图

graph LR
    齐次变换矩阵 --> 定义[4×4矩阵]
    定义 --> R[左上3×3: 旋转矩阵R]
    定义 --> t[右上3×1: 平移向量t]
    定义 --> 0[左下3×1: 零向量]
    定义 --> 1[右下1×1: 1]

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2. 齐次变换方程

齐次变换方程用于将一个点从原坐标系（A）变换到目标坐标系（B）：
$${\mathbf{p}}_B={\mathbf{T}}_B^A\cdot {\mathbf{p}}_A$$
其中：

• $({\mathbf{T}}_B^A)$：从A到B的齐次变换矩阵
• $({\mathbf{p}}_A)$：点在A坐标系中的齐次坐标（形式为 ([x,y,z,1]^T)）
• $({\mathbf{p}}_B)$：变换后的点在B坐标系中的坐标

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示例：坐标系变换

假设坐标系B相对于坐标系A旋转了θ角度，并沿Z轴平移了d距离。其变换矩阵为：
$${\mathbf{T}}_B^A=\left[\begin{array}{cccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0& 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& d\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

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3. 变换组合

多个连续变换（如旋转→平移→旋转）可通过矩阵相乘实现：
$${\mathbf{T}}_{total}={\mathbf{T}}_3\cdot {\mathbf{T}}_2\cdot {\mathbf{T}}_1$$

Mermaid流程图示例

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4. 应用场景

机器人运动学

在机器人学中，关节的运动可通过齐次变换矩阵描述。例如，机械臂的末端执行器位姿由各关节的变换矩阵相乘得到。

计算机图形学

在3D渲染中，物体的旋转和平移通过齐次变换矩阵统一处理，简化了复杂场景的坐标计算。

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5. 关键公式与推导

逆变换

若已知 $({\mathbf{T}}_B^A)$，则从B到A的逆变换为：
$${\mathbf{T}}_A^B=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{R}}^T& -{\mathbf{R}}^T\mathbf{t}\\ 0& 1\end{array}\right]$$

点与向量的区别

• 点：具有位置，变换时 w=1
• 向量：仅方向，变换时 w=0（仅旋转，不平移）。

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总结

齐次变换方程通过统一旋转和平移操作，简化了多坐标系之间的转换问题。其核心是 4×4齐次变换矩阵，适用于机器人学、计算机图形学等领域的坐标变换和运动学建模。如需进一步分析具体应用或公式推导，可提供更详细图表！