$\delta$函数和广义函数

$\delta$函数起源于集中分布物理量的数学描述。

描述一个在空间连续分布的物理量$Q$，通常由两种方式。一种是局部性的，给出密度函数（分布）$\rho (M)=\frac{dQ}{dM},M\in {\mathbf{R}}^n(n=1,2,3);$另一种是整体性的，通过空间任意区域$\Omega \subset {\mathbf{R}}^n$该物理量的总量
$$Q(\Omega )={\int }_{\Omega }\rho (M)dM$$
给出。对于集中分布的物理量，也可通过这两种方式来表达。先来讨论集中分布物理量的密度函数。

（点电荷的线密度）直线L上仅在$x=0$处置一单位电荷，这可以看成是单位电荷均匀分布在小区间$[-ϵ,ϵ]$上当$ϵ\to 0$时的极限情况，后者的密度
$${\rho }_{ϵ}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2ϵ},& |x|\le ϵ\\ 0,& |x|>ϵ\end{array}$$
且对$\forall ϵ>0$，直线上的电荷总量
$$Q={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\rho }_{ϵ}(x)dx=1$$
令$ϵ\to 0$，可由${\rho }_{ϵ}(x)$的极限推得单位点电荷的分布
$$\rho (x)=\{\begin{array}{ll}+\infty ,& x=0\\ 0,& x\ne 0\end{array}$$
且保持直线上的电荷总量为1。

将集中于$x=0$点的单位物理量引起的密度函数称为$\delta$函数，记为$\delta (x)$。即$\delta (x)$是满足条件
$$\delta (x)=\{\begin{array}{ll}\infty ,& x=0\\ 0,& x\ne 0\end{array}$$
和
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x)dx=1$$
的函数。

置于$x=\xi$点的单位物理量引起的密度函数可用$\delta (x)$的平移$\delta (x-\xi )$表示
$$\delta (x-\xi )=\{\begin{array}{ll}+\infty ,& x=\xi \\ 0,& x\ne \xi \end{array}$$
无论是关于空间还是关于时间集中分布的物理量都可用$\delta$函数来描述。关于时间集中分布的物理量在实际问题中常称为脉冲。

$\delta$函数有一条非常重要的基本性质，应用上称为筛选性。即对任意$\phi (x)\in C(\mathbf{R})$，
$${\int }_a^b\delta (x)\phi (x)dx=\{\begin{array}{ll}\phi (0),& 0\in [a,b],\\ 0,& 0\in [a,b]\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
特别地
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x)\phi (x)dx=\phi (0)\text{\hspace{1em}(2)}$$
可以这样看，由于当$x\ne 0$时$\delta (x)=0$，故
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x)\phi (x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x)\phi (0)dx=\phi (0){\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x)dx=\phi (0)$$
因此$\delta (x-\xi )$的筛选性为
$${\int }_a^b\delta (x-\xi )\phi (x)dx=\{\begin{array}{ll}\phi (\xi ),& \xi \in [a,b]\\ 0,& \xi \in [a,b]\end{array}$$
特别地
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x-\xi )\phi (x)dx=\phi (\xi )$$
式（1）就是集中分布物理量的另一种数学描述，当$\phi (x)=1$时，式（1）说明，只要区间里包含$x=0$点，该区间内此物理量的总量为1，否则总量为0，对一般的$\phi (x)$，式（1）是$\phi (x)$在$[a,b]$上以$\delta (x)$为权函数的加权平均，同样地反映了$\delta (x)$的集中分布性。所以，也可把式（1）或式（2）作为$\delta (x)$的另一种定义。

选用式（2）作为$\delta (x)$的定义，使我们对$\delta$函数有了一种全新的认识。$\delta$函数实际上是一个映射，它把$C(\mathbf{R})$中的元素$\phi (x)$映成了$\mathbf{R}$中的一个数$\phi (0)$.称函数空间到数域的线性映射为函数空间上的一个线性泛函，则$\delta$函数就是$C(\mathbf{R})$上的一个特殊的线性泛函，用内积或积分形式记$\delta$函数对应的泛函值，即
$$<\delta (x),\phi (x)>={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x)\phi (x)dx=\phi (0)$$
如果一个只在有限区间上不为0的可积函数$f(x)$，则由$<f(x),\phi (x)>={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\phi (x)dx$也确定了一个$C(\mathbf{R})$上的线性泛函。所以，从线性泛函的角度，$\delta (x)$和$f(x)$并无二异。称$C(\mathbf{R})$上的线性泛函为广义函数。，线性泛函的全体构成了一个广义函数空间，即为$C^{\prime }(\mathbf{R})$，称为基本函数空间$C(\mathbf{R})$的对偶空间。上述$\delta (x),f(x)$均为广义函数，称$\delta (x)$为奇异广义函数，称$f(x)$为正则广义函数。

基本函数空间可以是不同的，定义在其上的线性泛函的全体构成的广义函数空间也就不同。例如，基本函数空间是$C^{\infty }(\mathbf{R})$时，与其对偶的广义函数空间就记为$(C^{\infty }(\mathbf{R}){)}^{\prime }$，上述$\delta (x),f(x)$也都是此空间中的广义函数。以后常常用$\phi (x),{\phi }_n(x),\psi (x)$等表示基本函数空间中的函数，而广义函数空间中的广义函数常常用$f(x),f_n(x),g(x)$等表示。

总之，从物理的角度$\delta (x)$表示一种特殊的分布，从数学的角度它表示一个基本函数空间上特殊的线性泛函，在线性泛函的基础上建立起广义函数的理论，使得在广义函数中可以通行无阻地进行各种代数和分析运算。