【学习笔记】牛顿迭代法求立方根

简介

介绍使用牛顿迭代法求立方根$\sqrt[3]{x}$的C语言实现和公式的推导。

代码

float CubeRoot(float num)
{
    float x = num;
    float error = 1e-5;
    
    while (fabs(num - (x * x * x)) >= error)
    {
        x = (2 * x + num / (x * x)) / 3.0;
    }
    
    return x;
}

代码很简单，就是使用牛顿迭代法计算，然后判断是否达到想要的精度，达到精度后退出。

这里精度设置是0.00001，可以根据自己实际情况调整。

公式推导

这里说明代码x = (2 * x + num / (x * x)) / 3.0;是如何得到的。

牛顿迭代法公式如下。

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$

我们计算立方根的公式：

$y=\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$

所以

$y^3=x$

构建以y为自变量的函数方程为

$f(y)=y^3-x=0$

$f^{\prime }(y)=3y^2=0$

将$f(y)$和$f^{\prime }(y)$带入

$y-\frac{f(y)}{f^{\prime }(y)}=y-\frac{y^3-x}{3y^2}$

​ $=\frac{1}{3}(2y+\frac{x}{y^2})$

所以

$y_{n+1}=\frac{1}{3}(2y_n+\frac{x}{y_n^2})$ = $(2y_n+x÷y_n^2)÷3$

实际计算，设$x=2$，$y_1=2$

$y_2=(2\times 2+2÷2^2)÷3=1.5$

$y_3=(2\times 1.5+2÷1.5^2)÷3=1.296296$

$y_4=(2\times 1.296296+2÷1.296296^2)÷3=1.260932$

$y_5=(2\times 1.260932+2÷1.260932^2)÷3=1.259922$

经过多次迭代，计算出来的结果$\sqrt[3]{2}\approx 1.259922$。

本文链接：https://blog.csdn.net/u012028275/article/details/113822412