广义阵列方向图的乘积定理
学习目标：
广义阵列方向图的乘积定理
学习内容：
一般情况下，阵列天线源点和场点的空间分布：
在辐射远场区第q个单元的辐射电场的主极化分量可以表示为：
Eq=C⋅Aq⋅ej⋅φq⋅F~q(r^)⋅e−jkRR⋅u^ \boldsymbol{E}_q=C \cdot A_q \cdot e^{j \cdot \varphi_q} \cdot \tilde{F}_q(\widehat{\boldsymbol{r}}) \cdot \frac{e^{-j k R}}{R} \cdot \hat{\boldsymbol{u}} Eq=C⋅Aq⋅ej⋅φq⋅F~q(r )⋅Re−jkR⋅u^（1）
其中， C 是常数因子，它与空间波阻抗、工作波长相关； Aq\ A_q Aq、 φq\ φ_q φq 是第 q 个单元被激励的幅度和相位加权， r^\ \widehat{r} r
是 r\ r r方向(0点到场点)的单位矢， r′\ r' r′是源点的矢量；F~q(r^)\tilde{F}_q(\widehat{\boldsymbol{r}})F~q(r
) 是第 q 个单元的复方向函数， 包含了单元方向图的幅度和相位分量，r^\widehat{\boldsymbol{r}}r
只取决于θ\thetaθ，ϕ\phiϕ；波数 k 是工作波长； R 是单元 q 到远场观察点的距离； u^\widehat{u}u
是电场主极化分量的单位矢。
对于辐射场远区，源点到场点的距离足够远时，相位项有一个著名的近似：做一阶泰勒展开并忽略高阶小量，得到：R=∣r−r′∣≈r−r^⋅r′R=\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right| \approx r-\mathbf{\widehat{r}} \cdot \mathbf{r}^{\prime}R=∣r−r′∣≈r−r
⋅r′，体现在图上，就表示为R=r−ΔrR=r-\Delta{r}R=r−Δr，即：RRR在rrr上的投影；幅度项就R=rR=rR=r。因此，在无限远场，（1）式可表达为：
Eq=C⋅Aq⋅ej⋅φq⋅F~q(r^)⋅e−jk(r−r′⋅r)r⋅u^ \boldsymbol{E}_q=C \cdot A_q \cdot e^{j \cdot \varphi_q} \cdot \tilde{F}_q(\widehat{\boldsymbol{r}}) \cdot \frac{e^{-j k \boldsymbol{(r-r'\cdot r)}}}{r} \cdot \hat{\boldsymbol{u}} Eq=C⋅Aq⋅ej⋅φq⋅F~q(r )⋅re−jk(r−r′⋅r)⋅u^（2）
如果共有 n 个阵元，所有单元的形式一样、放置姿态一致，则它们辐射场的方向一致。将所有单元的远区辐射场直接相加，可得阵列天线总辐射场表达式:
Earay =∑q=1nEq=∑q=1nEq=C⋅Aq⋅ej⋅φq⋅F~q(r^)⋅e−jk(r−r′⋅r)r⋅u^ \boldsymbol{E}_{\text {aray }}=\sum_{q=1}^n \boldsymbol{E}_q=\sum_{q=1}^n\boldsymbol{E}_q=C \cdot A_q \cdot e^{j \cdot \varphi_q} \cdot \tilde{F}_q(\widehat{\boldsymbol{r}}) \cdot \frac{e^{-j k \boldsymbol{(r-r'\cdot r)}}}{r} \cdot \hat{\boldsymbol{u}} Earay =q=1∑nEq=q=1∑nEq=C⋅Aq⋅ej⋅φq⋅F~q(r
)⋅re−jk(r−r′⋅r)⋅u^(3)
（3）式是阵列天线无限远区表达通式，可以看出，阵列天线的总场表达式 是复杂的，它与阵元的幅相激励加权、阵元方向图以及阵元在坐标系中的位置等参量密切相关。
在满足工程应用的条件下，可对（3)式进一步提炼简化。如先不考虑阵元间互耦的影响，相同形式的阵元则具有相同的复方向函数F~q(r^)=F~e(r^)=Fe(r^)⋅ej⋅Ψe(r^)\tilde{F}_q(\widehat{\boldsymbol{r}})=\tilde{F}_e(\widehat{\boldsymbol{r}})=F_e(\widehat{\boldsymbol{r}}) \cdot e^{j \cdot \Psi_e(\hat{\boldsymbol{r}})}F~q(r
)=F~e(r
)=Fe(r
)⋅ej⋅Ψe(r^),其中 Fe(r^)F_e(\widehat{\boldsymbol{r}})Fe(r
),Ψe(r^)\Psi_e(\hat{\boldsymbol{r}})Ψe(r^)分别是单元的幅度和相位方向图函数，此外，在相同的环境和工作频率下，常数 C 也相同,则式（3）可简化为:
Earray =C⋅Fe(r^)⋅ej⋅Ψe(r^)⋅e−jkrr∑q=1nAq⋅ej[kr′⋅r^+φq]⋅u^\boldsymbol{E}_{\text {array }}=C \cdot F_e(\widehat{\boldsymbol{r}}) \cdot e^{j \cdot \Psi_e(\hat{\boldsymbol{r}})} \cdot \frac{e^{-j k r}}{r} \sum_{q=1}^n A_q \cdot e^{j\left[k \boldsymbol{r'} \cdot \widehat{\boldsymbol{r}}+\varphi_q\right]} \cdot \hat{\boldsymbol{u}}Earray =C⋅Fe(r
)⋅ej⋅Ψe(r^)⋅re−jkrq=1∑nAq⋅ej[kr′⋅r
+φq]⋅u^
当rrr为一个常数，天线的场强方向图有：
Farray =D⋅Fe(r^)⋅ej⋅Ψe(r^)⋅∑q=1nAq⋅ej[kr′⋅r^+φq]⋅u^\boldsymbol{F}_{\text {array }}=D \cdot F_e(\widehat{\boldsymbol{r}}) \cdot e^{j \cdot \Psi_e(\hat{\boldsymbol{r}})} \cdot \sum_{q=1}^n A_q \cdot e^{j\left[k \boldsymbol{r'} \cdot \widehat{\boldsymbol{r}}+\varphi_q\right]} \cdot \hat{\boldsymbol{u}}Farray =D⋅Fe(r
)⋅ej⋅Ψe(r^)⋅q=1∑nAq⋅ej[kr′⋅r
+φq]⋅u^
其中，rrr固定时，DDD为一个常数,Fe(r^)⋅ej⋅Ψe(r^)F_e(\widehat{\boldsymbol{r}}) \cdot e^{j \cdot \Psi_e(\hat{\boldsymbol{r}})}Fe(r
)⋅ej⋅Ψe(r^)为单元方向图（又叫单元因子），∑q=1nAq⋅ej[kr′⋅r^+φq]\sum_{q=1}^n A_q \cdot e^{j\left[k \boldsymbol{r'} \cdot \widehat{\boldsymbol{r}}+\varphi_q\right]}∑q=1nAq⋅ej[kr′⋅r
+φq]为阵列方向图（阵因子）。
阵列方向图的乘积定理：由相同单元组成的阵列的辐射方向图，等于单元方向图乘以阵因子方向图
远场相位近似的详细推导（GPT生成）：
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