学习来源：《矩阵分析与应用》张贤达 清华大学出版社

1. 逆矩阵

        若一个  的矩阵有  个线性无关的列向量和  线性无关的行向量，则称这个矩阵为非奇异矩阵。如果一个矩阵非奇异，那么它必定存在逆矩阵。反之，奇异矩阵肯定不存在逆矩阵。一个  的正方矩阵  满足  时，矩阵  和矩阵  互为逆矩阵。矩阵  的逆矩阵记为  。

1.1 伴随矩阵

        若一个正方矩阵  的所有元素  分别由它们的余子式  代替，然后转置，所得到的矩阵称为  的伴随矩阵，记作  ，即有

  

若行列式  ，则矩阵  的逆矩阵  存在且唯一。逆矩阵  由下式给出：

1.2 例

        对于矩阵

易知

1.3  矩阵  的逆矩阵  的性质

1） 。

2） 是唯一的。   

3）逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数，即

  

4）逆矩阵是非奇异的。

5） 
6）复共轭转置矩阵  的逆矩阵等于逆矩阵  的复共轭转置，即 

7） 

8）若  和  都是可逆的，则

更一般地，有

9）若  为对角矩阵，则其逆矩阵为

10）若  非奇异，则

                        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​ 为正交矩阵 

        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​         为酉矩阵  

2. 广义逆矩阵

        从广义角度来说，若矩阵  与矩阵  的乘积等于单位矩阵  ，即  ，则称矩阵  为矩阵  的逆矩阵。根据矩阵  本身的特点 ，满足这一定义的矩阵  存在三种可能：

1）在某些情况下，  存在，且唯一；

2）在某些情况下，  存在，但不唯一；

3）在某些情况下，  不存在。

        例如有以下三个矩阵：

        对矩阵  ，存在唯一矩阵

不仅使得  ，而且使得  。此时，矩阵  实际就是矩阵  的逆矩阵，即  。

        对矩阵  ,存在多个矩阵使得  ，如

        对矩阵  ，没有任何  矩阵使得  ，但存在多个  矩阵  ，使得  ，如：

总结：除了满足  的逆矩阵  外，还存在两种其它形式的逆矩阵，它们只满足  或  。

2.1 定义

        满足  ，但不满足  的矩阵  被称为矩阵  的左逆矩阵。类似的，满足  ，但不满足  的矩阵  称为矩阵  的右逆矩阵。

2.2 定理

1）仅当  时，矩阵  可能有左逆矩阵。

2）仅当  时，矩阵 可能有右逆矩阵。

3. 广义逆矩阵的计算

3.1 定义

        令  具有秩  。若  ，其中  的秩为  （满列秩矩阵），且  的秩也为  （满行秩矩阵），则称  为矩阵  的满秩分解。

3.2 秩为 的矩阵  的满秩分解算法

步骤1：利用初等行变换将矩阵  化为阶梯型，即：

步骤2：对单位矩阵执行逆行初等变换，得到逆矩阵

逆行初等变换如下：

        1）第  行和第  行的互换  的逆变换是  。

        2）初等行变换  的逆变换为  。

        3）初等行变换  的逆变换为  。

步骤3：利用逆矩阵  的前  列构造矩阵  ；

步骤4：书写满秩分解的结果  。

3.3 求广义逆矩阵

        若矩阵  具有秩  ，且其满秩分解为  ，其中，  为满列秩，  为满行秩，则

是  的一个广义逆矩阵。