我们知道最小二乘法的 误差函数 是 均方L2范数，接下来则是讨论 为什么均方回归会对异常点outliers敏感 以及 有没有更好的误差函数使得更好的处理outliers？
                        

常见的误差函数：
                
                

        上图可以看出，对于绝对值误差函数，发现在误差 x 在0的附近发现不可导，因此优化难以进行；而Huber完美解决这样的问题，在0附近可导，在大误差范围又兼具绝对值特性。

• 最小化均方L2范数 等价于 假设误差服从独立等方差的 高斯分布 的最大似然估计；
• 最小化L1范数 等价于 假设误差服从独立等方差的 拉普拉斯分布 的最大似然估计。

证明：

Q1： 为什么L2范数回归会对异常点outliers敏感，L1范数回归是否要比 L2范数回归鲁棒更好？

A1： 由于重尾分布。

        根据上图可以看出在同方差的条件下，选取某段误差区间，例如：当$\sigma =1$，误差 $x\in [0,1]$时，可以发现Laplace更集中在误差小的范围，而Gauss包容更多误差大的点，因此对于异常点就更敏感些。

         因此可以发现 L1范数回归 要比 L2范数回归 鲁棒更好。

更通俗来说：L2范数和L1范数分别评估的是“均值”和“中值”。