在数学中，“sup” 是 “supremum” 的缩写，这个词来源于拉丁语，意思是“最高值”。在集合论和实分析中，如果一个集合 S 的元素都是实数，并且这个集合有上界（即存在某个实数 M，使得对于 S 中的所有元素 x，都有 x ≤ M），那么这个集合的 supremum 就是所有这些上界中的最小者。换句话说，sup(S) 是满足以下两个条件的最小实数：

sup(S) 是 S 的一个上界。
如果 t 也是 S 的一个上界，则 sup(S) ≤ t。
如果一个集合没有上界，我们通常说它的 supremum 是正无穷大。同样地，infimum 是与 supremum 相对的概念，它表示一个集合所有下界的最大值。

“supremum” 在数学中指的是“上确界”。上确界是一个集合所有上界的最小值，也就是说，它是大于或等于集合中所有元素的最大数。如果一个集合有最大值，那么这个最大值就是该集合的上确界；但如果集合没有最大值，其上确界可能是集合趋向但不达到的一个值，或者是集合的上界中最小的那个数。

例如，集合 (0, 1)（即所有大于0小于1的实数）没有最大值，但它的上确界是1，因为1大于集合中的所有数，而且没有比1更小的数能作为这个集合的上界。同样，对于任何有界的非空实数集，根据实数的完备性，都存在唯一的上确界。

再举一个例子，考虑集合 S = {x ∈ ℝ | x < 5}，这个集合没有最大的元素，但是它有一个 supremum，即 sup(S) = 5。这是因为 5 是 S 的一个上界，并且没有比 5 更小的上界了。