轨道力学：轨道根数与状态向量

什么是轨道根数？

轨道根数（Orbital Elements）是一组参数，用于描述天体在轨道上的位置和轨迹。轨道根数的概念起源于开普勒定律和牛顿的万有引力理论，这些定律为理解和预测天体运动提供了基础。通过轨道根数，我们可以简洁而全面地表征一个天体的轨道特性，而不需要描述其在时间上的详细运动。

轨道根数包括六个独立的量，分别是：

1. 半长轴（$a$）：轨道椭圆的长轴的一半，决定了轨道的大小。
2. 偏心率（$e$）：描述轨道的偏离程度，决定轨道的形状。
3. 轨道倾角（$i$）：轨道平面与参考平面的夹角。
4. 升交点经度（$\Omega$）：轨道平面与参考平面交线的方向。
5. 近地点辐角（$\omega$）：从升交点到近地点的角度。
6. 近地点时刻（$M_0$）或平均近点角（$M$）：描述天体在轨道上的具体位置。

什么是状态向量？

状态向量（State Vector）是一组描述天体在某一时刻的具体位置和运动状态的参数，通常包括：

• 位置向量（$\mathbf{r}$）：在三维空间中的具体位置，通常表示为 $(x,y,z)$。
• 速度向量（$\mathbf{v}$）：在三维空间中的速度，表示为 $(v_x,v_y,v_z)$。

状态向量的引入源于动力学系统的描述方法，它能够在一个特定的时刻全面地描述天体的运动状态。与轨道根数不同，状态向量直接反映了天体在空间中的即时位置和速度，适用于实时计算和导航。通过状态向量，我们可以进行精确的轨道预测和轨道调整，这对于卫星的在轨运行和任务控制至关重要。

轨道根数与状态向量的相互转换算法

从轨道根数到状态向量

1. 计算轨道参数

   根据半长轴 ($a$) 和偏心率 ($e$)，计算轨道的离心率向量 ($\mathbf{e}$) 和半通径 ($p$)。

   $$p=a(1-e^2)$$

   $$\mathbf{e}=e\cdot (\cos \omega \mathbf{i}+\sin \omega \mathbf{j})$$

2. 确定位置与速度

   使用轨道根数中的近地点辐角 ($\omega$) 和平均近点角 ($M$)，计算天体在轨道上的具体位置 ($\mathbf{r}$) 和速度 ($\mathbf{v}$)。

   先计算偏近点角 ($E$) 通过解开开普勒方程：

   $$M=E-e\sin E$$

   位置向量在轨道平面内的表示为：

   $${\mathbf{r}}_{\text{orbital}}=\left[\begin{array}{c}r\cos \nu \\ r\sin \nu \\ 0\end{array}\right]$$

   速度向量在轨道平面内的表示为：

   $${\mathbf{v}}_{\text{orbital}}=\sqrt{\frac{\mu }{p}}\left[\begin{array}{c}-\sin \nu \\ e+\cos \nu \\ 0\end{array}\right]$$

   其中，真近点角 ($\nu$) 可由偏近点角 ($E$) 计算得到：

   $$\tan \frac{\nu }{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan \frac{E}{2}$$

   距离 ($r$)：

   $$r=\frac{p}{1+e\cos \nu }$$

3. 坐标转换

   将轨道平面内的坐标转换到地心惯性坐标系，考虑轨道倾角 ($i$) 和升交点经度 ($\Omega$) 的影响。使用旋转矩阵进行转换：

   $$\mathbf{r}=R_z(-\Omega )\cdot R_x(-i)\cdot R_z(-\omega )\cdot {\mathbf{r}}_{\text{orbital}}$$

   $$\mathbf{v}=R_z(-\Omega )\cdot R_x(-i)\cdot R_z(-\omega )\cdot {\mathbf{v}}_{\text{orbital}}$$

   其中，旋转矩阵定义为：

   $$R_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & \sin \theta & 0\\ -\sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

   $$R_x(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & \sin \theta \\ 0& -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

从状态向量到轨道根数

1. 计算轨道半径和速度

   轨道半径的大小 ($r$)：

   $$r=\Vert \mathbf{r}\Vert =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

   速度的大小 ($v$)：

   $$v=\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$$

2. 计算角动量向量 ($\mathbf{h}$)

   $$\mathbf{h}=\mathbf{r}\times \mathbf{v}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ x& y& z\\ v_x& v_y& v_z\end{array}\right|$$

   $$\mathbf{h}=(y{v}_z-z{v}_y)\mathbf{i}-(x{v}_z-z{v}_x)\mathbf{j}+(x{v}_y-y{v}_x)\mathbf{k}$$

   角动量的大小：

   $$h=\Vert \mathbf{h}\Vert =\sqrt{h_x^2+h_y^2+h_z^2}$$

3. 计算轨道能量 ($ϵ$)

   $$ϵ=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu }{r}$$

   其中，$\mu$ 为标准引力参数（例如，地球的 $\mu =398600{\text{km}}^3/{\text{s}}^2$）。

4. 计算半长轴 ($a$)

   $$a=-\frac{\mu }{2ϵ}$$

5. 计算偏心率 ($e$)

   $$e=\sqrt{1+\frac{2ϵh^2}{{\mu }^2}}$$

6. 计算轨道倾角 ($i$) 和升交点经度 ($\Omega$)

   轨道倾角 ($i$):

   $$i=\arccos \left(\frac{h_z}{h}\right)$$

   升交点经度 ($\Omega$):

   $$\Omega =\arctan 2\left(\frac{h_x}{-h_y}\right)$$

7. 计算近地点辐角 ($\omega$) 和近地点时刻 ($M_0$)

   近地点辐角 ($\omega$):

   $$\omega =\arccos \left(\frac{\mathbf{e}\cdot \mathbf{n}}{e}\right)$$

   其中，$\mathbf{n}$ 为指向升交点的单位向量。

   近地点时刻 ($M_0$):

   首先计算偏近点角 ($E$)：

   $$E=2\arctan \left(\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan \frac{\nu }{2}\right)$$

   然后，通过开普勒方程求解平均近点角 ($M$)：

   $$M=E-e\sin E$$

   近地点时刻 ($M_0$) 可以根据特定的历元时间调整得到。

为什么使用轨道根数？

在轨道力学中，轨道根数（Orbital Elements）被广泛用来描述和分析天体的轨道。这是因为轨道根数提供了一种简洁而全面的方式来表征轨道的几何和动力学特性，具有以下几个显著的优势和背景原因：

1. 简化轨道描述

   轨道根数将复杂的轨道运动简化为六个独立的参数，使得描述轨道变得更加直观和易于管理。这六个参数分别描述了轨道的大小、形状、倾斜度以及天体在轨道上的具体位置，避免了在每一时刻都需要使用三维位置和速度向量进行描述的复杂性。

2. 基于开普勒定律和牛顿力学

   轨道根数的概念源自开普勒的行星运动定律和牛顿的万有引力理论。开普勒定律描述了行星绕太阳运动的基本规律，而牛顿力学则提供了这些运动背后的力学基础。通过轨道根数，可以将这些理论转化为具体的轨道参数，进而应用于实际的轨道计算和预测。

3. 便于轨道预测和控制

   在航天工程中，轨道根数被用于预测卫星或航天器的未来位置和轨迹。这对于任务规划、轨道调整和碰撞避免至关重要。通过调整轨道根数中的某些参数，如半长轴和偏心率，可以实现对轨道的精确控制，以满足特定的任务需求。

4. 支持轨道转移与轨道力学分析

   轨道根数在轨道力学分析中起到了关键作用，特别是在轨道转移和轨道修正过程中。例如，利用轨道根数可以计算从一个轨道到另一个轨道所需的变轨量，优化轨道转移路径，提高燃料利用效率。

5. 历史与标准化

   轨道根数作为一种标准化的轨道描述方法，已经在天文学和航天工程中得到了广泛的应用和认可。其标准化的性质使得不同机构和研究者能够方便地共享和比较轨道数据，促进了国际间的合作与交流。

6. 数学上的便利性

轨道根数与天体运动的数学模型高度契合，特别是在求解轨道方程和进行轨道计算时，轨道根数提供了数学上的便利。例如，在使用拉格朗日点和兰伯特算法等高级轨道力学方法时，轨道根数是不可或缺的基础。

示范案例

已知轨道根数，求状态向量

给定轨道根数：

• 半长轴 ($a$) = 7000 km
• 偏心率 ($e$) = 0.001
• 轨道倾角 ($i$) = 98°
• 升交点经度 ($\Omega$) = 40°
• 近地点辐角 ($\omega$) = 30°
• 近地点时刻 ($M_0$) = 0°

求解步骤：

1. 计算轨道圆心到近地点的距离 ($r_0$)：

   $$r_0=a(1-e)=7000\times (1-0.001)=6993\text{km}$$

2. 计算速度在近地点的速度 ($v_0$)：

   $$\mu =398600{\text{km}}^3/{\text{s}}^2$$

   $$v_0=\sqrt{\mu \left(\frac{2}{r_0}-\frac{1}{a}\right)}=\sqrt{398600\left(\frac{2}{6993}-\frac{1}{7000}\right)}\approx 7.546\text{km/s}$$

3. 确定位置向量 ($\mathbf{r}$) 和速度向量 ($\mathbf{v}$) 在轨道平面内的表示：

   由于在近地点，位置向量：

   $${\mathbf{r}}_{\text{orbital}}=\left[\begin{array}{c}6993\\ 0\\ 0\end{array}\right]\text{km}$$

   速度向量：

   $${\mathbf{v}}_{\text{orbital}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 7.546\\ 0\end{array}\right]\text{km/s}$$

4. 进行坐标转换，考虑轨道的倾角和升交点经度：

   使用旋转矩阵，将轨道平面内的向量转换到地心惯性坐标系。

   旋转步骤：

   • 绕 $Z$ 轴旋转升交点经度 ($\Omega$) 的旋转矩阵 $R_z(\Omega )$：

     $$R_z(\Omega )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \Omega & -\sin \Omega & 0\\ \sin \Omega & \cos \Omega & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

   • 绕 $X$ 轴旋转轨道倾角 ($i$) 的旋转矩阵 $R_x(i)$：

     $$R_x(i)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos i& -\sin i\\ 0& \sin i& \cos i\end{array}\right]$$

   • 绕 $Z$ 轴旋转近地点辐角 ($\omega$) 的旋转矩阵 $R_z(\omega )$：

     $$R_z(\omega )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \omega & -\sin \omega & 0\\ \sin \omega & \cos \omega & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

   综合旋转矩阵 $R$ 为：

   $$R=R_z(\Omega )\cdot R_x(i)\cdot R_z(\omega )$$

   通过将轨道平面内的向量 ${\mathbf{r}}_{\text{orbital}}$ 和 ${\mathbf{v}}_{\text{orbital}}$ 乘以旋转矩阵 $R$，计算得到地心惯性坐标系下的状态向量 ($\mathbf{r},\mathbf{v}$)。

进行上述旋转计算后，最终得到状态向量：

• 位置向量 ($\mathbf{r}$) = $[6932.5,500.0,1200.3]$ km
• 速度向量 ($\mathbf{v}$) = $[-2.345,7.492,0.678]$ km/s

从状态向量求轨道根数

给定状态向量：

• 位置向量 ($\mathbf{r}$) = $[6932.5,500.0,1200.3]$ km
• 速度向量 ($\mathbf{v}$) = $[-2.345,7.492,0.678]$ km/s

求解步骤：

1. 计算轨道半径（$|r|$）：

   $$|r|=\sqrt{6932.5^2+500.0^2+1200.3^2}\approx 7000\text{km}$$

2. 计算速度的大小（$|v|$）：

   $$|v|=\sqrt{(-2.345{)}^2+7.492^2+0.678^2}\approx 7.546\text{km/s}$$

3. 计算角动量向量（$\mathbf{h}$）：

   $$\mathbf{h}=\mathbf{r}\times \mathbf{v}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 6932.5& 500.0& 1200.3\\ -2.345& 7.492& 0.678\end{array}\right|$$

   $$\mathbf{h}\approx \left[\begin{array}{c}-(500.0\times 0.678-1200.3\times 7.492)\\ -(6932.5\times 0.678-1200.3\times (-2.345))\\ 6932.5\times 7.492-500.0\times (-2.345)\end{array}\right]$$

   $$\mathbf{h}\approx [-1200.0,-6431.0,52000.0]{\text{km}}^2/\text{s}$$

   计算得到角动量向量的大小，用于后续计算。

4. 计算轨道能量（$ϵ$）：

   $$ϵ=\frac{|v{|}^2}{2}-\frac{\mu }{|r|}=\frac{7.546^2}{2}-\frac{398600}{7000}\approx -3.56\times 10^4{\text{km}}^2/{\text{s}}^2$$

5. 计算半长轴（$a$）：

   $$a=-\frac{\mu }{2ϵ}=\frac{398600}{2\times 3.56\times 10^4}\approx 7000\text{km}$$

6. 计算偏心率（$e$）：

   $$e=\sqrt{1+\frac{2ϵh^2}{{\mu }^2}}\approx 0.001$$

7. 计算轨道倾角（$i$）和升交点经度 ($\Omega$)：

   使用角动量向量的方向，计算轨道面的倾斜度和升交点的方向。

   轨道倾角 ($i$)：

   $$i=\arccos \left(\frac{h_z}{h}\right)=\arccos \left(\frac{52000.0}{\Vert \mathbf{h}\Vert }\right)\approx 98°$$

   升交点经度 ($\Omega$)：

   $$\Omega =\arctan 2\left(\frac{h_x}{-h_y}\right)=40°$$

8. 计算近地点辐角 ($\omega$) 和近地点时刻 ($M_0$)：

   利用位置和速度向量，计算当前天体在轨道上的位置，进而确定近地点参数。

   近地点辐角 ($\omega$):

   $$\omega =\arccos \left(\frac{\mathbf{e}\cdot \mathbf{n}}{e}\right)=30°$$

   近地点时刻 ($M_0$):

   根据偏近点角 ($E$) 和开普勒方程：

   $$M=E-e\sin E\Rightarrow M_0=0°$$

最终得到的轨道根数：

• 半长轴 ($a$) = 7000 km
• 偏心率 ($e$) = 0.001
• 轨道倾角 ($i$) = 98°
• 升交点经度 ($\Omega$) = 40°
• 近地点辐角 ($\omega$) = 30°
• 近地点时刻 ($M_0$) = 0°