铰接角是在对铰接式车辆进行运动分析时，关乎车辆稳定性的重要参数，当车辆前进时，铰接角过大会使车辆陷入原地转向的状态，倒车的时候，铰接角过大会导致车辆发生折叠失稳，甚至导致车辆侧翻。为了保证半挂牵引车在整体的工况下保持稳定，我们需要找到不同场景下铰接角的临界值，确定车辆稳定对应铰接角稳定域。

前向运动的稳定域

根据我们之前带挂牵引车前向运动模型推导及仿真实现推导的运动学模型
$$\{\begin{array}{l}\dot{x_r}=v\cos \phi \\ \dot{y_r}=v\sin \phi \\ \dot{\phi }=\frac{v\tan {\delta }_f}{L}\\ \dot{{\phi }_1}=\frac{v}{L_1}(\sin \theta +\frac{L_b\tan {\delta }_f\cos \theta }{L})\\ \theta =\phi -{\phi }_1\end{array}$$

• $(x_r,y_r)$：牵引车后轮中心点；
• $L$：牵引车的轴距；
• $L_b$：铰接点$C$到$B$的距离；
• $L1$：半挂车的轴距；
• ${\delta }_f$：牵引车前轮转角；
• $\phi$：牵引车航向角；
• ${\phi }_1$：半挂车的航向角；
• $\theta$：铰接角，即牵引车与半挂车的航向的夹角；
• $v$：牵引车的纵向速度；

可知，带挂牵引车的前向运动是开环稳定的，但铰接角过大的话也会导致车辆陷入折叠或挂车原地转向的状态。当牵引车以恒定的前轮转角前向运动的时候 ，牵引车与挂车的运动轨迹最终会近似两个同心圆，即铰接角度为一个稳定的数值，因此牵引车的前向运动时铰接角临界稳定值的定义为：车辆以不同的前轮进行前向运动时，铰接角能够维持稳定的值，即最终铰接角$\dot{\theta }=0$的$\theta$值。

结合上面的公式，可得临界铰接角需满足：
$$\dot{\theta }=\dot{\phi }-\dot{{\phi }_1}=\frac{v\tan {\delta }_f}{L}-\frac{v}{L_1}(\sin \theta +\frac{L_b\tan {\delta }_f\cos \theta }{L})=0$$
化简后可得：
$$\frac{\tan {\delta }_f}{L}(1-\frac{L_b\cos \theta }{L_1})-\frac{\sin \theta }{L_1}=0$$
将${\delta }_f$作为自变量，$\theta$作为因变量（$L=3.0$，$L_b=0.3$，$L_1=7.0$ ），绘制出函数图像如下所示：

从图中的曲线即为前轮转角${\delta }_f$和铰接角$\theta$的临界稳定值，如果车辆当前时刻的铰接角小于其前轮转角对应铰接角临界稳定值，就不存在原地转向的风险。从图中可以看到，当$|{\delta }_f|>23.1^{\circ }$时不存在对应$\dot{\theta }=0$的情况。因此在该车身参数下，前向运动中牵引车前轮转角可以长时间控制在$-23.0^{\circ }\sim 23.0^{\circ }$之间，不能长时间处于$|{\delta }_f|>23.0^{\circ }$的工况下，以防止出现车辆原地转向的风险，而且不管在何种工况下，牵引车都可以通过反打方向盘来减小铰接角的数值，使其逐渐趋于0，来使车辆恢复稳定状态。

后向运动的稳定域

带挂牵引车在前进过程中，挂车与其的运动趋势一致，而带挂牵引车在恒定前轮转角的后退的过程中，铰接角度会越来越大，因此不能以上一章节的方法来确定倒车的情况下铰接角度的临界值。

在恒定前轮转角的后退过程中，当铰接角度超过某一个范围阈值的时候，无论怎么改变前轮转角都无法使得铰接角$\theta$趋于0，继而导致铰接角度愈发增大，引起车辆进入折叠的不稳定工况。结合文献的分析后，可得：当挂车在铰接点横向速度$v_2$大于纵向速度$v_1$的时候，车辆有陷入折叠的风险；因此可以根据该结论对其稳定域进行分析。

根据带挂牵引车倒车运动模型推导及仿真实现的推导过程可知半挂车的纵向速度$v_1$有
$$v_1=v_{1f}\cos {\delta }_{1f}=v(\cos \theta -\frac{L_b\tan {\delta }_f}{L}\sin \theta )$$
根据文章中的几何关系，易得$v_{1f}$在挂车上的横向速度分量$v_2$有
$$\begin{array}{rl}{v}_2& =v_{1f}\sin {\delta }_{1f}\\ & =\frac{v}{\cos \alpha }\sin {\delta }_{1f}\\ & =\frac{v}{\cos \alpha }\sin (\theta -\alpha )\\ & =v(\sin \theta -\tan \alpha \cos \theta )\\ & =v(\sin \theta -\frac{L_b}{R}\cos \theta )\\ & =v(\sin \theta -\frac{L_b\tan {\delta }_f}{L}\cos \theta )\end{array}$$
其中$\alpha$为挂车虚拟前轮与牵引车航向的夹角，令$v_1=v_2$，化简可得
$$\tan \theta =\frac{L+L_b\tan {\delta }_f}{L-L_b\tan {\delta }_f}$$
上面的推导都是基于对应的角度，没有完全考虑物理意义上的正负号，下面我们分场景对其进行讨论（所有场景的初始状态都是$\theta =0,{\delta }_f=0$）：

• 当${\delta }_f>0$的时候，$\theta <0$
• 当${\delta }_f<0$的时候，$\theta >0$

将${\delta }_f$作为自变量，$\theta$作为因变量（$L=3.0$，$L_b=0.3$ ），绘制出从初始状态，以不同的固定前轮转角到达临界条件的图像如下

从图中可以看出，在当前车身参数下，倒车过程中铰接角的稳定域为$45^{\circ }\sim -41.69^{\circ }$，因此在倒车场景下的路径规划，需要将铰接角严格控制在稳定区域内，才能避免发生折叠的不稳定工况。

参考文献

[1] 赵名卓.半挂汽车列车倒车安全与诱导控制研究[D].合肥工业大学,2021.
[2] 贾生超.半挂牵引车自动泊车路径规划与运动控制方法研究[D].燕山大学,2023.