作者：aminzeng2022 

目录

2. 傅里叶变换

2.1 向量基

2.2  正变换

2.3 反变换

2.4 时域和频域分析

2.5 复数表达式

2.6复指数向量基

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2. 傅里叶变换

        傅里叶级数也是一组完备的正交向量基（以下简称傅氏向量基），一些连续可积的向量（函数）可以通过向傅氏向量基投影来实现变换，即傅里叶变换。

        再次强调，函数也是特殊的向量！连续函数在某个区间可得到无穷个函数值，这些有序值就是一个向量。

2.1 向量基

        傅里叶变换的向量基为：

        1、cosx、sinx、cos⁡(2x)、sin2x、cos⁡(3x)、sin⁡(3x)、⋯⋯。

        傅氏向量基的维数为无穷维，具有正交性、完备性特点，但不具备归一性，进行傅氏变换时应进行归一化处理。

        傅氏向量基中的向量为函数，在一个周期内[-π，+π]连续取值，其维数也是无穷维。

• 正交性

        在[-π，+π]上，傅氏向量基中任意两个向量的点积都为零，即两两正交，如下：

        其中，k、n不相等，取值1、2、3、⋯。

• 归一性

        上面提到，傅氏向量基中的向量的大小不为1，如下：

        对向量基进行归一化处理，得到归一化后的傅氏向量基为：

        、、、、、

• 完备性

        通过对傅里叶变换求极限，可以证明当n→∞时，

        所以说明傅氏向量基是完备的，通过傅氏向量基进行变换不存在误差。此证明过程略，感举趣的朋友可以自行在网上查找。

2.2  正变换

        变换即是将某个向量从一个坐标系（向量基1）投影到另一个坐标系（向量基2）上得到新的坐标值的过程。

        在傅里叶变换中，需变换的向量为函数f(x)，函数定义在x域上，傅氏向量基也定义在x域上，因此可以开展投影操作。向量f(x)在傅氏向量基上的投影值依次为：

        对投影：

        对投影：

        对投影：

        所以傅立叶变换为：

        简化后得到：

        其中系数：

        所以f(x)在傅氏向量基上的坐标为：

2.3 反变换

        根据图1.7知道，进行反变换要捋清两组向量基（坐标系）之间的关系和坐标值，设向量g在原坐标系向量基中表示为f(x)，即g= f(x)，正反变换分析如下：

• 正变换：傅里叶变换，将向量g在原坐标系中的坐标值（f(x)）投影在傅氏向量基（在原坐标系中表示为1、cosx、sinx、⋯⋯），得到向量g在傅氏向量基中的坐标值（a0、a1、b1、⋯⋯）；
• 反变换：傅里叶逆变换，将向量g在傅氏向量基中的坐标值（a0、a1、b1、⋯⋯）投影在原坐标系向量基（在傅氏向量基中表示为1、cosx、sinx、⋯⋯），得到向量g在原坐标系中的坐标值（f(x)）。

        理解的难点就在于“原坐标系向量基在傅氏向量基中表示为1、cosx、sinx、⋯⋯”。理解如下：

• 因为g在原坐标系向量基中表示为f(x)，即g= f(x)，也即g= f(x)∙1，坐标值是f(x)，所以1就是向量基；
• 原坐标系向量基1投影到傅氏向量基上，得到1、cosx、sinx、⋯⋯；
• 所以原坐标系向量基在傅氏向量基上的坐标值也为1、cosx、sinx、⋯⋯，与傅氏向量基在原坐标系上的表达式相同。 

        所以傅里叶反变换为：

        傅里叶正反变换的表达形式好像是一样的，但其实不同，正变换是求坐标值a0、a1、b1等，而反变换是求f(x)，这一点不分清容易搞蒙。

2.4 时域和频域分析

        向量g= f(x)是在x域上的表达式，若令x(x=ωt)表示时间，那就是时间域上的表达式，向量，为表达简洁，还是令g= f(t)。

        设向量周期为T，角频率为ω=2π/T，因x∈[-π,+π]，所以t∈[-T/2,+T/2]，对傅氏坐标值进行适当变换后得到：

        得到傅里叶变换为：

        对上式进行解读：

• f(t)表示一个周期信号随时间变化的函数；
• 为一个常数；
• cosnωt为一个余弦信号，角频率为nω，角频率是原函数的n倍；
• sinnωt为一个正弦信号，角频率为nω，角频率是原函数的n倍；
• 傅里叶变换将一个周期信号分解为：常量(a0)+ a1×余弦信号（1倍频）+ b1×正弦信号（1倍频）+ a2×余弦信号（2倍频）+ b2×正弦信号（2倍频）+⋯⋯；

        通过信号分解，可看出原信号中所含不同频率正余弦信号的比重（见图2.1），这在信号处理、控制等各领域应用十分广泛。本文目的只是帮助理解傅氏变换，对此不作深入分析。

图2.1 傅里叶时域频域分析示意（图片来自网络） 

2.5 复数表达式

        为提高傅氏变换的普适性，利用了欧拉公式对傅氏变换进行变形。

        欧拉公式：

        代入傅氏变换得：

        因和对称，在-∞~+∞求和得到：

        再将欧拉公式代入坐标值求解得到变换系数：

        所以可以将统一为如下形式：

        若将T→∞，上式可运用于非周期函数，此时：

        令：

        该表达式用于求信号当中不同频率的分量，是傅里叶正变换。

        将代入得到：

        该表达式用于根据频率分量求信号时间域表达式，是傅里叶反变换。

2.6复指数向量基

        回过头看表达式，是否很像函数向量在向量基上的投影，真实情况也确实如此。

        复指数向量基：

⋯⋯、、、、、、、、⋯⋯

        简写为，n为整数，特别注意n取值范围是-∞~+∞，若只取正整数就不具有完备性了。

• 正交性

        证明复指数向量基正交性之前，需将根深蒂固的实数域概念扩展到复数域，以前的实数可看成虚部为零的复数。复数的投影（也就是复数的内积运算）跟实数有较大差异，具体如下：

        复数z1：z1=a1+b1i；

        共轭复数：；

        复数z2：；

        共轭复数：

        复数z1和z2的内积为：

        若复数z1和z2正交（垂直），则：；

        复指数的共轭复数：

        下面证明复指数的正交性：

        复指数的向量内积：

        当m≠n时：

        当m=n时：

        所以复指数向量基是两两正交的。

• 归一化

        复数向量的大小也称为模，计算方法如下：

        所以复指数向量基的大小为：

        归一化后得到复指数向量基：

⋯⋯、、、、、、、、⋯⋯

• 完备性

        因复指数向量基与傅氏向量基是对应的，所以复指数向量基也是完备的。

        完备性证明省略。

• 正变换

        正变换是求每个向量基的投影分量。

        频率为nω项：

        所以：

        当T→∞时：

• 反变换

        将所有频率项加在一起，就可得到时域函数向量，但要注意向量基应是时域向量基（=1）在复指数向量基上的表示。

        将1依次向复指数向量基投影（求内积）得到：

        在n>0时：

        在n<0时：

        两部分加在一起后再加上n=0的项，就得到：

        当T→∞时，频率分辨率很小，用dω表示，写成积分形式：