1. 信噪比SNR

信噪比计算公式：
$$SNR(dB)=10{\log }_{10}\frac{P_{signal}}{P_{noise}}$$
式中，$P_{signal}$是纯净信号的功率，$P_{noise}$是噪声的功率。已知信噪比SNR和纯净信号$P_{signal}$，由上式获得噪声信号的功率$P_{noise}$
$$P_{noise}=\frac{P_{signal}}{10^{\frac{SNR}{10}}}$$

接下来向纯净信号$X_{signal}$中加入指定信噪比SNR的噪声信号$X_{noise}$，获得含噪信号$X_{mix}$。设一噪声信号$Z$服从标准正态分布，即$Z\sim N(0,1)$，又因为$X_{noise}\sim N(0,P_{noise})$，所以功率为$P_{noise}$的噪声信号为

$$X_{noise}=\sqrt{P_{noise}}\times Z$$
则，加噪后的信号为
$$X_{mix}=X_{signal}+X_{noise}=X_{signal}+\sqrt{P_{noise}}\times Z$$

2. 编程实现

信噪比代码及其案例展示：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random


def add_nosie(signal, snr_db):
    '''
    给纯净信号添加指定信噪比(dB)的噪声
    Input:
        signal: 纯净信号, ndarray
        snr_db: scalar value; unit: dB. eg: snr_db=-5
    Output:
        mix_signal: 含噪声信号
    '''
    signal_power = np.mean(signal ** 2) # P_signal
    noise_power = signal_power / (10 ** (snr_db / 10)) # P_noise
    noise = np.sqrt(noise_power) * np.random.randn(*signal.shape) # X_noise
    mix_signal = signal + noise
    return mix_signal


if __name__ == "__main__":
    # fix seed 
    random.seed(2024)
    np.random.seed(2024)
    
    # add noise
    signal = np.sin(np.arange(0, 2*np.pi, 0.1)) # 纯净信号
    mix_signal_1 = add_nosie(signal, snr_db=25) # 含噪信号
    mix_signal_2 = add_nosie(signal, snr_db=10)
    mix_signal_3 = add_nosie(signal, snr_db=-1)
    
    # plot
    _, axs = plt.subplots(nrows=1, ncols=3, figsize=(9, 4))
    axs[0].plot(signal, color='k',label='signal')
    axs[0].plot(mix_signal_1, color='r', linestyle='--', alpha=0.6, label='mix_signal')
    axs[0].set_title('SNR=25 dB')
    axs[0].legend(loc="lower left", framealpha=0)
    
    axs[1].plot(signal, color='k',label='signal')
    axs[1].plot(mix_signal_2, color='r', linestyle='--', alpha=0.6, label='mix_signal')
    axs[1].set_title('SNR=10 dB')
    axs[1].legend(loc="lower left", framealpha=0)
    
    axs[2].plot(signal, color='k',label='signal')
    axs[2].plot(mix_signal_3, color='r', linestyle='--', alpha=0.6, label='mix_signal')
    axs[2].set_title('SNR=-1 dB')
    axs[2].legend(loc="lower left", framealpha=0)
    
    plt.savefig(r'E:\newDesktop\计算信噪比\sig.svg', format='svg')

结果：

3. 知识点回顾

1）高斯白噪声功率与方差关系

一般认为高斯白噪声服从正态分布$X_{noise}\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，且噪声的均值一般为0，即$\mu =0$。则噪声信号$X_{noise}$的功率
$$P_{noise}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{X}_{noise}(i{)}^2=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N[X_{noise}(i)-0{]}^2=Var(X_{noise})={\sigma }_{X_{noise}}^2$$
可以发现，高斯白噪声的功率等于其方差。因此，由$Z\sim N(0,1)$，$X_{noise}\sim N(0,P_{noise})$得，$X_{noise}=\sqrt{P_{noise}}\times Z$.

2）高斯分布采样

先回顾两个公式，后面需要用：
$$\begin{gathered} E[aX+b]=aE[X]+b \\ Var[aX+b]=a^{2}Var[X] \end{gathered}$$

有两个随机变量X和Y服从高斯分布，其中$X\sim N({\mu }_X,{\sigma }_X^2)$，$Y\sim N({\mu }_Y,{\sigma }_Y^2)$，现从随机变量$X$中采样获得$Y$。设随机变量$aX+b$，可得其分布$aX+b\sim N(a{\mu }_X+b,a^2{\sigma }_X^2)$，可以求出$a,b$
$$\{\begin{array}{l}aX+b=Y\\ a{\mu }_X+b={\mu }_Y\\ a^2{\sigma }_X^2={\sigma }_Y^2\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}a=\frac{{\sigma }_Y}{{\sigma }_X}\\ b={\mu }_Y-a{\mu }_X\end{array}$$

从随机变量$X$中采样获得$Y$
$$Y=\frac{{\sigma }_Y}{{\sigma }_X}X+({\mu }_Y-\frac{{\sigma }_Y}{{\sigma }_X}{\mu }_X)$$