频域分析基础

此部分内容为频域分析中一些经典结论的推导过程，用作积累与巩固基础知识。

描述控制系统在不同频率的正弦函数作用时的稳态输出和输入信号之间关系的数学模型称为频率特性，它反映了在正弦信号作用下系统响应的性能。应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。在常规的控制理论中，频域响应法往往是最有效的，因为我们可以利用对物理系统实测得到的数据来分析系统性能，而不需要推导出系统的精确的数学模型；而且采用容易提供的正弦信号发生器和精密的测量装置，完成频率响应的实验通常比较简单，并且可以做的很精确。

但是，通常一提到控制系统中的频域分析，大家第一时间都会想到：令传递函数的$$s=jw$$但是，为什么要做这样的变换，以及这个等式背后的原因，却很少有人去关注。

首先，我们来看如下结论：

对于线性时不变系统$G(s)$系统的输入量和输出量分别用$x(t)$和$y(t)$表示,如果输入量为正弦信号，则系统的稳态输出量也是一个相同频率的正弦信号，但是可能有不同的幅值和相角

推导：
我们假设系统的正弦输出为如下形式：$x(t)=Xsinwt$，其中$w(rad/s)$为角频率，且有$$w=2\pi f,f(circle/s)$$且设系统的传递函数可写成两个多项式之比的形式，如下$$G(s)=\frac{p(s)}{q(s)}=\frac{p(s)}{(s+s_1)(s+s_2)\dots (s+s_n)}$$则系统输出的拉普拉斯变化可写成如下形式：

$$Y(s)=G(s)X(s)=\frac{p(s)}{q(s)}X(s)$$而系统输入的拉普拉斯变换可以写成如下形式：$$X(s)=\frac{wX}{s^2+w^2}$$注：
对于更一般的$x(t)=Xsin(wt+{\varphi }_i)$的形式，我们作如下变换：
$$Xsin(wt+{\varphi }_i)=X(sinwtcos{\varphi }_i+coswtsin{\varphi }_i)=Asinwt+Bcoswt$$
再做拉普拉斯变换：$$\frac{Aw}{s^2+w^2}+\frac{Bs}{s^2+w^2}$$再带入频域响应的表达式中即可，只是这样推导过程较为繁琐，故本为以$x(t)=Xsinwt$为例。

则$$Y(s)=G(s)X(s)=\frac{p(s)wX}{(s^2+w^2)(s+s_1)(s+s_2)\dots (s+s_n)}$$部分分式展开可得：$$Y(s)=\frac{a}{(s+jw)}+\frac{\bar{a}}{(s-jw)}+\frac{b_1}{(s+s_1)}+\frac{b_2}{(s+s_2)}\dots +\frac{b_n}{(s+s_n)}$$其中$$\bar{a}$$是$a$的共轭复数，$a,b_i$为常数，对上式进行拉普拉斯反变换可得：

$$y(t)=a{e}^{-jwt}+\bar{a}{e}^{jwt}+b_1{e}^{-s_{1}t}+b_2{e}^{-s_{2}t}\dots +b_n{e}^{-s_{n}t}$$对于一个稳态系统，其闭环极点均位于复平面左侧，故$-s_i<0$,当$t$趋近于无穷时，$b_i{e}^{-s_{i}t}$趋近于0，因此系统的稳态响应将变为如下形式：$$y_{ss}(t)=a{e}^{-jwt}+\bar{a}{e}^{jwt}$$式中常数可根据留数定理得到：$$a=G(s)\frac{wX}{s^2+w^2}(s+jw){|}_{s=-jw}=-\frac{XG(-jw)}{2j}$$

$$\bar{a}=G(s)\frac{wX}{s^2+w^2}(s-jw){|}_{s=jw}=\frac{XG(jw)}{2j}$$上式中，$G(jw)$是一个复数量，我们作如下定义$$G(jw)=|G(jw)|e^{j\varphi }$$其中$|G(jw)|$表示$G(jw)$的幅值，$\varphi =\angle G(jw)=arctan[\frac{G(jw)的虚部}{G(jw)的实部}]$表示$G(jw)$的相角，类似的$$G(-jw)=|G(-jw)|e^{-j\varphi }=|G(jw)|e^{-j\varphi }，$$到此，系统的稳态响应可以写为如下形式：$$y_{ss}(t)=\frac{X|G(jw)|e^{j(wt+\varphi )}}{2j}-\frac{X|G(jw)|e^{-j(wt+\varphi )}}{2j}$$

由欧拉公式：$e^{j\theta }=cos\theta +jsin\theta$上式变为：$$y_{ss}(t)=\frac{X|G(jw)|}{2j}[(cos(wt+\varphi )+jsin(wt+\varphi ))-(cos(wt+\varphi )-jsin(wt+\varphi ))]=X|G(jw)|sin(wt+\varphi )$$输出信号的幅值$Y=X|G(jw)|$

在此基础上，我们得到如下结论：对于正弦输入信号输出信号的振幅由输入信号的振幅$X$与$|G(jw)|$的乘积给出，而相角则与输入信号相差一个量值$\varphi =\angle G(jw)$因此系统对正弦输入信号的稳态响应特性可直接由下式给出：$$G(jw)=\frac{Y(jw)}{X(jw)}$$这便是频域分析中直接将$s=jw$的原因。

附一段百度百科的介绍：

频域分析法具有以下特点：

首先，控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法和实验方法获得，并可用多种形式的曲线表示，因而系统分析和控制器设计可以应用图解法进行。
其次，频率特性物理意义明确。对于一阶系统和二阶系统，频域性能指标和时域性能指标有确定的对应关系；对于高阶系统，可建立近似的对应关系。
第三，控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。
第四，频域分析法不仅适用于线性定常系统，还可以推广应用于某些非线性控制系统。

频域分析法就是将信号分解为正弦波，并且用正弦波合成信号。分解或分析就是计算各种频率的正弦波在信号中所占的比例，合成或综合就是根据不同比例的正弦波来合成信号。对分解的信号可以如此处理：保留部分幅值比较大的正弦波分量，以备将来恢复信号。这样做在实践中有不少好处，例如减少表示信号所需的数据、节省存储数据的存储器、节省传输数据的时间、增加通信线路的使用效率等。合成信号也有不少用途，例如恢复接收数据的原始信号、合成语音信号、生成图像信号、产生测量信号等。

频域分析法是从频率的角度看问题，它能看到时域角度看不到的问题。频域分析法的优点是：它引导人们从信号的表面深入到信号的本质，看到信号的组成部分。通过对成分的了解，人们可以更好地使用信号。这种做法很像化学分析，比如污水处理，化学分析能够帮助工程师了解污水处理的效果，达到改进和提高处理方法的目的。有了信号分析的概念，就提高了人们的观察力。