\quad用来在信道上传输信息的波形$s_m(t)$可以是任意形式，然而，这些波形的差别在于幅度、相位或频率，由此产生不同的数字调制方法。假设输入二进制数字序列的速率为$Rbits/s$。

一、脉冲幅度调制PAM

\quad特点：用不同的载波幅度来承载信号。

基带PAM

• 信号波形：$s_m(t)=A_{m}p(t)(1\le m\le M)$。$p(t)$是持续时间为$T$的脉冲，$A_m$为脉冲幅度$A_m=2m-1-M,m=1,2,\cdots ,M$。即幅度是$\pm 1,\pm 2,\pm (M-1)$。
• 信号能量：${\epsilon }_m=\int A_m^2{p}^2(t)dt=A_m^2{\epsilon }_p$，其中${\epsilon }_p$是$p(t)$的能量。
• 平均能量：${\epsilon }_{avg}=\frac{{\epsilon }_p}{M}{\sum }_{m-1}^M{A}_m^2=\frac{2{\epsilon }_p}{M}[1^2+3^2+\cdots +(M-1{)}^2]=\frac{(M^2-1){\epsilon }_p}{3}$
• 平均比特能量：${\epsilon }_{bavg}=\frac{(M^2-1){\epsilon }_p}{3lo{g}_{2}M}$

幅移键控ASK：带通数字PAM

• 信号波形：sm(t)=Re{Amg(t)ej2πfct}=Amg(t)cos2πfcts_m(t)=Re\{A_mg(t)e^{j2 \pi f_ct}\}=A_mg(t)cos2\pi f_ctsm​(t)=Re{Am​g(t)ej2πfc​t}=Am​g(t)cos2πfc​t
• 信号能量：${\epsilon }_m=\frac{1}{2}{A}_m^2{\epsilon }_g$，其中${\epsilon }_g$是$g(t)$的能量。
• 平均能量：${\epsilon }_{avg}=\frac{(M^2-1){\epsilon }_g}{6}$
• 平均比特能量：${\epsilon }_{bavg}=\frac{(M^2-1){\epsilon }_g}{6lo{g}_{2}M}$

PAM星座图

\quadPAM信号是一维的，所有的信号波形相同，仅幅度不同。如下图所示：

\quad什么是星座图？数字通信领域中，经常将数字信号在复平面上表示，以直观的表示信号以及信号之间的关系。这种图示就是星座图。星座图特点如下：

• 1.星座图中，点到原点的距离代表的物理含义是：这个点对应信号的能量，离原点越远，意味着此信号能量越大。
• 2.相邻两个点的距离称为欧氏距离，表示的是这种调制所具有的的抗噪声性能，欧氏距离越大，抗噪声性能越好。

\quadPAM将$M=2^k$个信号分配出去，优选的分配方案是相邻信号的幅度相差一个二进制数字，这种映射称为格雷编码。这样，PAM信号星座图如下所示：

\quad任意一对信号点之间的欧式距离：$$d_{mn}=\sqrt{||s_m-s_n|{|}^2}=|A_m-A_n|\sqrt{{\epsilon }_p}=|A_m-A_n|\sqrt{{\epsilon }_g/2}=\sqrt{2{\epsilon }_g}|m-n|$$
因此相邻信号点间距离为$d_{min}=\sqrt{2{\epsilon }_g}$。代入${\epsilon }_{bavg}=\frac{(M^2-1){\epsilon }_g}{6lo{g}_{2}M}$，可得$d_{min}=\sqrt{\frac{12lo{g}_{2}M}{M^2-1}{\epsilon }_{bavg}}$。

PAM中$M=2$时也叫双极性信号，$s_1(t)=-s_2(t)$，这两个信号能量相等，互相关系数为-1

二、相位调制PSK

\quad特点：用载波的M个相位传送数字信息。
\quad信号波形：sm(t)=Re{g(t)ej2π(m−1)/Mej2πfct}=g(t)cos[2πfct+2πM(m−1)]=g(t)cos[2πM(m−1)]cos2πfct−g(t)sin[2πM(m−1)]sinπfcts_m(t)=Re\{g(t)e^{j2 \pi (m-1)/M}e^{j2 \pi f_ct}\}\\=g(t)cos[2\pi f_ct+\frac{2\pi}{M}(m-1)]\\=g(t)cos[\frac{2\pi}{M}(m-1)]cos2\pi f_ct-g(t)sin[\frac{2\pi}{M}(m-1)]sin\pi f_ctsm​(t)=Re{g(t)ej2π(m−1)/Mej2πfc​t}=g(t)cos[2πfc​t+M2π​(m−1)]=g(t)cos[M2π​(m−1)]cos2πfc​t−g(t)sin[M2π​(m−1)]sinπfc​t

• 能量${\epsilon }_m=\int s_m^2(t)dt=\frac{1}{2}\int g^2(t)dt=\frac{1}{2}{\epsilon }_g$，这$M$个波形能量相同，在星座图上就是一个圆上均匀分布$M$个点。
• ${\epsilon }_{avg}={\epsilon }_m,{\epsilon }_{bavg}=\frac{{\epsilon }_g}{2lo{g}_{2}M}$
• 向量表示：令${\varphi }_1(t)=\frac{2}{{\epsilon }_g}g(t)cos2\pi f_{c}t,{\varphi }_2(t)=-\frac{2}{{\epsilon }_g}g(t)sin2\pi f_{c}t$，则$s_m(t)=s_{m1}{\varphi }_1(t)+s_{m2}{\varphi }_2(t)$，故$s_m=[s_{m1},s_{m2}]=[\frac{2}{{\epsilon }_g}cos(\frac{2\pi }{M}(m-1)),\frac{2}{{\epsilon }_g}sin(\frac{2\pi }{M}(m-1))]$

\quad根据向量表示：则$s_m=[\frac{2}{{\epsilon }_g}cos(\frac{2\pi }{M}(m-1)),\frac{2}{{\epsilon }_g}sin(\frac{2\pi }{M}(m-1))]$，星座图如下：

\quad任何一对信号点间欧式距离为$d_{mn}=\sqrt{||s_m-s_n|{|}^2}=\sqrt{{\epsilon }_g[1-cos\frac{2\pi }{M}(m-n)]}$。
\quad最小距离为相邻信号点间距离$d_{min}=\sqrt{{\epsilon }_g[1-cos\frac{2\pi }{M}]}=\sqrt{2{\epsilon }_{g}si{n}^2\frac{\pi }{M}]}$。
\quad将${\epsilon }_b={\epsilon }_{bavg}=\frac{{\epsilon }_g}{2lo{g}_{2}M}$带入可得：$$d_{min}=2\sqrt{(lo{g}_{2}Msi{n}^2\frac{\pi }{M}){\epsilon }_b}\approx 2\sqrt{\frac{{\pi }^{2}lo{g}_{2}M}{M^2}{\epsilon }_b}$$

三、正交幅度调制QAM

\quadQAM信号可以看作幅度和相位的组合调制，sm(t)=Re{rmejθmg(t)ej2πfct}=rmg(t)cos[2πfct+θm]s_m(t)=Re\{r_me^{j\theta_m}g(t)e^{j2\pi f_ct}\}=r_mg(t)cos[2\pi f_ct+\theta_m]sm​(t)=Re{rm​ejθm​g(t)ej2πfc​t}=rm​g(t)cos[2πfc​t+θm​]，其中$r_m=\sqrt{A_{mi}^2+A_{mq}^2},{\theta }_m=ta{n}^{-1}(A_{mq}/A_{mi})$。

• 能量${\epsilon }_m=||s_m|{|}^2=\frac{{\epsilon }_g}{2}(A_{mi}^2+A_{mq}^2)$
• 矢量表示$s_m=[A_{mi}\sqrt{\frac{{\epsilon }_g}{2}},A_{mq}\sqrt{\frac{{\epsilon }_g}{2}}]$
• 相邻两点欧氏距离$d_{min}=\sqrt{2{\epsilon }_g}$
• 当信号幅度取值为$2m-1-M$时，信号空间图为矩形，矩形星座平均能量为${\epsilon }_{avg}=\frac{M-1}{2}{\epsilon }_g$，故${\epsilon }_{bavg}=\frac{M-1}{3lo{g}_{2}M}{\epsilon }_g$，带入得$d_{min}=\sqrt{2{\epsilon }_g}=\sqrt{\frac{6lo{g}_{2}M}{M-1}}{\epsilon }_{bavg}$

PAM、PSK和QAM小结