Parseval’s theorem帕萨瓦尔定理及其证明过程
Parseval 定理是信号视频分析，相关推导过程汇总最常用的定理之一，我们较为常用的表述是，信号在时域和频域上的功率相等，现在找到一个较为详细的帕萨瓦尔定理的原始版本及其证明过程， 现做一个记录。 帕萨瓦尔定理通过下述公式揭示了信号在时域和频域上的能量 关系，它的定义如下： 其中f(t)是任意一个在时域上变化的信号，F（f）是其等价的在傅里叶频域上的变化结果。
Parseval 定理是信号视频分析，相关推导过程汇总最常用的定理之一，我们较为常用的表述是，信号在时域和频域上的功率相等，现在找到一个较为详细的帕萨瓦尔定理的原始版本及其证明过程， 现做一个记录。
帕萨瓦尔定理通过下述公式揭示了信号在时域和频域上的能量 关系，它的定义如下：
其中f(t)是任意一个在时域上变化的信号，F（f）是其等价的在傅里叶频域上的变化结果。
其中
为 x(t) 的连续傅立叶变换（以归一化酉形式），而f代表x的频率分量（非角频率）
帕塞瓦尔定理的此表达形式解释了波形x(t)依时间域t累积的总能量与该波形的傅立叶变换X(f)在频域域f累积的总能量相等。
![\sum_{n=-\infty}^\infty | x[n] |^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi | X(e^{i\phi}) |^2 d\phi](http://upload.wikimedia.org/math/1/7/4/1747ac6e2c1bfde886693070da5c84c4.png)
其中，X为x的离散时间傅立叶变换(DTFT)，而Φ为x的角频率（度每样本）。
此外，对于离散傅立叶变换 (DFT)，表达式变换为：
![\sum_{n=0}^{N-1} | x[n] |^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} | X[k] |^2](http://upload.wikimedia.org/math/d/d/3/dd3e997e03ee61f3c43c2e96731deb83.png)
其中，X[k]为x[n]的DFT变换，变换前后样本长度皆为N。
其证明过程如下：
该定理说明了信号f(t)的总能量等于其傅里叶变换后频域上的面积积分。
转自：https://blog.csdn.net/qq_24598387/article/details/79441702
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