1. Cauchy 积分公式

定理：设区域 D 的边界为复/单周线 $\Gamma =C_0\cup C_1^{-}\cdots$，函数 $f(z)$ 在区域 D 内解析，在 $\overline{D}=D\cup \Gamma$ 上连续，则有：
$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\Gamma }\frac{f(z)}{z-z_0}dz(z_0\in D)$$右侧积分称作 Cauchy 积分。

证明：以 $z_0$ 为圆心，充分小的 $\rho >0$ 为半径作圆周 ${\gamma }_{\rho }$，使得 ${\gamma }_{\rho }$ 完全含于 D，如图:
由于函数 $f(z)$ 在 $D$ 上连续，故
$$For\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,s.t.when|z-z_0|=\rho <\delta ,|f(z)-f(z_0)|<\frac{\epsilon }{2\pi }$$ 又函数 $\frac{f(z)}{z-z_0}$ 在 D \ { z 0 } D\backslash \{z_0\} D\{z0​} 上解析，根据复合闭路原理有：

$$\begin{array}{rl}{\oint }_{\Gamma }\frac{f(z)}{z-z_0}dz& ={\oint }_{{\gamma }_{\rho }}\frac{f(z)}{z-z_0}dz\\ & \\ & ={\oint }_{{\gamma }_{\rho }}\frac{f(z)-f(z_0)+f(z_0)}{z-z_0}dz\\ & \\ & ={\oint }_{{\gamma }_{\rho }}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz+f(z_0){\oint }_{{\gamma }_{\rho }}\frac{1}{z-z_0}dz\\ & \\ & ={\oint }_{{\gamma }_{\rho }}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz+f(z_0)2\pi i\end{array}$$
那么
$$\begin{array}{rl}\left|{\oint }_{{\gamma }_{\rho }}\frac{f(z)}{z-z_0}dz-f(z_0)2\pi i\right|& =\left|{\oint }_{{\gamma }_{\rho }}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz\right|\\ & \\ & ⩽{\oint }_{{\gamma }_{\rho }}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\right||dz|\\ & \\ & <\frac{1}{\rho }\frac{\epsilon }{2\pi }\cdot 2\pi \rho =\epsilon \end{array}$$即
$${\oint }_{\Gamma }\frac{f(z)}{z-z_0}dz=\underset{\rho \to 0}{\lim }{\oint }_{{\gamma }_{\rho }}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=f(z_0)2\pi i$$故定理得证。

2. Cauchy 积分公式的重要推论

2.1. 平均值定理

定理（平均值定理）： 设函数在圆盘 $D:|z-z_0|<R$ 内解析，在闭圆盘 $\overline{D}=D\cup \partial D$ 上连续，则 圆心处的函数值等于函数在圆周上值的算数平均值，即
$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(z_0+R{e}^{i\varphi })d\varphi$$

证明：圆周线的参数方程为：$$\zeta =z_0+R{e}^{i\varphi },(0⩽\varphi ⩽2\pi )$$则
$$d\zeta =iR{e}^{i\varphi }d\varphi$$根据 Cauchy 积分公式
$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\partial D}\frac{(\zeta )}{\zeta -z_0}d\zeta =\frac{1}{2\pi i}{\int }_0^{2\pi }\frac{f(z_0+R{e}^{i\varphi })}{R{e}^{i\varphi }}iR{e}^{i\varphi }d\varphi =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(z_0+R{e}^{i\varphi })d\varphi$$(证毕).

2.2. 最大模原理

引理：设函数在圆盘 $D:|z-z_0|<R$ 内解析，在闭圆盘 $\overline{D}=D\cup \partial D$ 上连续，若 $$|f(z_0)|=\underset{z\in D}{\max }(|f(z)|)=M$$则在圆盘 D 内，复函数 $f(z)$ 为常数。

证明：（反证法）由于函数在圆盘内解析，若它的模在圆盘内为常数，则它本身在圆盘上也为常数。

设 ∃   z 1 = z 0 + r e i θ 1 ∈ D \ { z 0 } ,   s . t .   ∣ f ( z 1 ) ∣ < ∣ f ( z 0 ) ∣ = M \exist~z_1=z_0+re^{i\theta_1}\in D\backslash\{z_0\},~s.t.~|f(z_1)|<|f(z_0)|=M ∃ z1​=z0​+reiθ1​∈D\{z0​}, s.t. ∣f(z1​)∣<∣f(z0​)∣=M记
$$|f(z_1)|=M-p(p>0)$$由于 $f(z)$ 在 $|z-z_0|=r$ 上连续，故 $|f(z)|$ 在该圆上也连续，取 $z_2=z_0+r{e}^{i{\theta }_2}$
$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0，s.t.when|{\theta }_1-{\theta }_2|<\delta ,||f(z_2)|-|f(z_1)||<\frac{\epsilon }{2}$$不妨取 $\epsilon =p$，此时有：
$$|f(z_2)|<M-\frac{p}{2}$$那么，根据平均值定理
$$\begin{array}{rl}M=|f(z_0)|& =\frac{1}{2\pi }\left|{\int }_0^{2\pi }f(z)d\theta \right|\\ & \\ & ⩽\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\left|f(z)\right|d\theta \\ & \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{{\theta }_1-\delta }^{{\theta }_2+\delta }\left|f(z)\right|d\theta +\frac{1}{2\pi }{\int }_{[0,2\pi ]\backslash [{\theta }_1-\delta ,{\theta }_1+\delta ]}\left|f(z)\right|d\theta \\ & \\ & <\frac{1}{2\pi }{\int }_{{\theta }_1-\delta }^{{\theta }_2+\delta }\left(M-\frac{p}{2}\right)d\theta +\frac{1}{2\pi }{\int }_{[0,2\pi ]\backslash [{\theta }_1-\delta ,{\theta }_1+\delta ]}Md\theta \\ & \\ & =\left(M-\frac{p}{2}\right)\frac{\delta }{\pi }+\left(\pi -\delta \right)\frac{M}{\pi }\\ & \\ & =M-\frac{p\delta }{2\pi }<M\end{array}$$矛盾，因此原命题得证。
\quad

定理（最大模原理）：设函数 $f(z)$ 在区域 D 内解析，又 $f(z)$ 不是常函数，则 $|f(z)|$ 在区域 D 内没有最大值。

证明：（反证法）记
$$\underset{z\in D}{\max }|f(z)|=M$$若 $M=+\infty$，则定理成立，若 $M<+\infty$，设
$$\exists z_0\in D,s.t.|f(z_0)|=M$$ 那么，根据引理可得在圆盘 C 1 = { z ∣   ∣ z − z 0 ∣ < r 1 } ⊂ D C_1=\{z|~|z-z_0|<r_1\}\subset D C1​={z∣ ∣z−z0​∣<r1​}⊂D 内，函数 $f(z)$ 为常数。选取区域 D 中的任意一点 $z^{\ast }$。由于D的连通性，存在一条折线 $l$ 连接 $z_0$ 与 $z^{\ast }$。记 $l$与D的边界的距离为 $d$，在 $l$ 上依次插入分点 $z_1,z_2,\cdots ,z_n=z^{\ast }$ 且要求 $|z_k-z_{k-1}|<d$，如图所示：

那么所有圆盘 $C_k:|z-z_k|<d$ 均含于 D，且 $z_{k-1}\in C_k$，反复应用上述引理可得：
$$|f(z^{\ast })|=|f(z_0)|=M$$根据 $z^{\ast }$ 的任意性可知：
$$|f(z)|=M,(z\in D)\Rightarrow f(z)=Const$$矛盾，故原命题成立。
\quad

Remark:
\quad
1）在区域 D 内解析的函数，若其模在 D 内达到最大值，则此函数必为常数；
\quad
2）若 $f(z)$ 在有界区域 D 内解析，在 $\overline{D}$ 上连续，则 $|f(z)|$ 必在闭区域的边界上有最大模。