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模指数运算问题

什么叫模指数运算？

求 3 11 m o d 22 3^{11}mod 22 311mod22

这就是模指数运算问题。

在RSA算法中，无论加密还是解密都需要用到模指数运算问题。

常用的模指数算法有二进制法、二进制NAF算法、滑动窗口算法等。

我们主要使用的是二进制法。具体的公式性质的东西，我就不列了。直接上干货

我们就以上面这个简单的例子为例进行讲解：

11 可以化成二进制的形式即1011,即8+2+1
3 ≡ 3 ( m o d 22 ) 3 2 ≡ 9 ( m o d 22 ) 3 4 = 9 2 = 81 ≡ 15 ( m o d 22 ) 3 8 ≡ 1 5 2 ( m o d 22 ) = 5 s . t . 3 11 = 3 1 × 3 2 × 3 8 ≡ 3 × 9 × 5 = 135 ≡ 3 ( m o d 22 ) 3 \equiv 3 (mod 22)\\ 3^2 \equiv 9 (mod 22)\\ 3^4 = 9^2 = 81 \equiv 15(mod 22)\\ 3^8 \equiv 15^2 (mod 22) =5\\ s.t. 3^{11} = 3^1\times 3^2\times 3^8 \equiv 3\times 9 \times 5=135\equiv 3(mod 22) 3≡3(mod22)32≡9(mod22)34=92=81≡15(mod22)38≡152(mod22)=5s.t.311=31×32×38≡3×9×5=135≡3(mod22)
这样我们就成功地计算出了一个大的指数的模！

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