给定4点$P_1(0,0,0)$，$P_2(1,1,1)$，$P_3(2,-1,-1)$，$P_4(3,0,0)$，用其作为特征多边形来构造一条三次Bezier曲线，并计算参数为$0,1/3,2/3,1$的值。

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首先是贝塞尔曲线的定义：当给定空间$n+1$个点的位置矢量$P_i$则$n$次贝塞尔曲线上个点坐标的插值公式是：

$$P(t)=\sum _{i=0}^n{P}_i{B}_{i,n}(t),t\in [0,1]$$

具体到对于三次贝塞尔曲线，亦即当$n=3$时，有：

$$P(t)=\sum _{i=0}^3{P}_i{B}_{i,3}(t)=(1-t{)}^3{P}_0+3t(1-t{)}^2{P}_1+3t^2(1-t)P_2+t^3{P}_3,t\in [0,1]$$

问题是如何给它具体过来的呢？

其实就是对$Bernstein$调和函数$B_{i,n}(t)$带入$n=3$，该函数的定义是：

$$B_{i,n}(t)=\frac{n!}{i!(n-i)!}{t}^i(i-t{)}^{n-i}=C_n^i{t}^i(i-t{)}^{n-i}$$

此式带入$n=3$可得上式。

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对于式子：

$$P(t)=\sum _{i=0}^n{P}_i{B}_{i,n}(t)$$

要分为两部分看，一部分是不定的，即选取的点是不确定的，所以$P_i$具体取值不知道是多少，另一部分是固定的调和函数，在三次贝塞尔曲线的具体情况下，它就是

$$P(t)=\sum _{i=0}^3{B}_{i,3}(t)$$

为了看起来，把它写为矩阵形式。$P_i$它本身就有$x,y,z$分量，三次计算可以合到一个矩阵里进行计算，要不然就得按照下式分别计算

$$P(t)=\{\begin{array}{rlr}x(t)& =& a_{3x}{t}^3+a_{2x}{t}^2+a_{1x}t+a_{0x}\\ y(t)& =& a_{3y}{t}^3+a_{2y}{t}^2+a_{1y}t+a_{0y}\\ z(t)& =& a_{3z}{t}^3+a_{2z}{t}^2+a_{1z}t+a_{0z}\end{array}$$

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按照上面的思路写出三次$Bernstein$调和函数的矩阵形式：

矩阵的推导如下，对于：

$$P(t)=\sum _{i=0}^3{P}_i{B}_{i,3}(t)=(1-t{)}^3{P}_0+3t(1-t{)}^2{P}_1+3t^2(1-t)P_2+t^3{P}_3,t\in [0,1]$$

取新函数$B_{i,3}$为$P_i$的系数，则调和函数可写为矩阵形式（虽然是个单行矩阵）

$$B=[B_{0,3}{B}_{1,3}{B}_{2,3}{B}_{3,3}]$$

其中每个$B_{i,3}$最高次项系数最大为3，故可用左侧含$t$矩阵乘右侧系数矩阵得到。

以$P_0$系数$(1-t{)}^3$为例，拆开即为$1-3t+3t^2-t^3$

什么，你忘了怎么拆了？立方和公式为：

$$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

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拆开的结果按$t$从高次到低次排列为$-t^3+3t^2-3t+1$，取系数分别为$-1,3,-3,1$，正对应右侧系数矩阵的第一列，按矩阵乘法乘到左面正好是$-t^3+3t^2-3t+1$，也就是$B_{0,3}(t)$

该矩阵乘回去的结果是：

$${\left|B_{0,3}{B}_{1,3}{B}_{2,3}{B}_{3,3}\right|}^T$$

（竖着这个矩阵忘了对应的markdown语法了，所以写成横着的并加个$T$，其实竖着才更直观）

然后就是求$${\left|B_{0,3}{B}_{1,3}{B}_{2,3}{B}_{3,3}\right|}^T\ast {\left|P_0{P}_1{P}_2{P}_3\right|}^T$$

于是最终式子长这样（敲Markdown真不如用ipad手写…虽然难看不整齐就是了）

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说了这么多，最后就绕到本题的解法去了，请务必要注意，$P(t)$参数归根到底还是$t$，所以先带入几个控制点$P_i$并化简之后，就要对着题意带入$t$来做题了。

带入对应的$t$，可把矩阵解为$\left|xyz\right|$的形式，即三维坐标。

答案分别是$(0,0,0)$、$(1,2/9,2/9)$、$(2,-2/9,2/9)$、$(3,0,0)$

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虽然图文无关，但是看图可以知道$t$是干啥的。

事实上，参数t在de Casteljau算法中会更加直观

上文中的计算贝塞尔曲线，计算量大（尤其是阶数不止三阶时）还不通用（三阶的算法只能计算三阶的贝塞尔曲线），因此还有另一种算法值得学习，即de Casteljau算法，这一般也是计算机实现使用的代码。

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图源：计算机图形学（孙家广）P303前后

$n+1$个点（可以形成$n$条线段），控制形成$n$阶贝塞尔曲线，所以不难看出为什么一次Bezier曲线控制点矩阵有两个点（即$P_0$和$P_1$），高阶类推。