本篇为《信号处理》系列博客的第一篇，该系列博客主要记录信号处理相关知识的学习过程和自己的理解，方便以后查阅。

文章原地址：《傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06》

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。

p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。

一、什么是频域

从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。

而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。
但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，这个静止的世界就叫做频域。

先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：

一段音乐是什么呢？

这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：

上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。

将以上两图简化：

时域：

频域：

在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。

你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。

傅里叶告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。
在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。

而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。

二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱

还是举个栗子并且有图有真相才好理解。

如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：

第一幅图是一个郁闷的正弦波cos（x）

第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加cos(x)+a.cos(3x)

第三幅图是4个发春的正弦波的叠加

第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加

随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形。

随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。

但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的是，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）

不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。
这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。

还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：

在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。

而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。

这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。

每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。

这里，不同频率的正弦波我们称为频率分量。

好了，关键的地方来了！！

如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。

对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。

时域的基本单元就是“1秒”，如果我们将一个角频率为${\omega }_0$的正弦波$cos({\omega }_{0}t)$看作基础，那么频域的基本单元就是${\omega }_0$。

有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？
$cos(0t)$就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！
所以在频域，0频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。

接下来，我们回到初中看看是怎么定义正弦波。

正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆

想看动图的同学请戳这里：

File:Fourier series square wave circles animation.gif

介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：

这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？

只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱：

再清楚一点：

可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为0的正弦波。

动图请戳：
File:Fourier series and transform.gif

我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。
在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。
我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。
而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。
这样说来有些宿命论的感觉。

三、傅里叶级数（Fourier Series）的相位谱

上一章的关键词是：从侧面看。这一章的关键词是：从下面看。

在这一章最开始，先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？

先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。

所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。
这就是需要傅里叶变换的地方。
尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。

再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。
求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。
而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。

傅里叶分析当然还有其他更重要的用途，我们随着讲随着提。

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下面我们继续说相位谱：

通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。
因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。
基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。
那么这个相位谱在哪呢？我们看下图，这次为了避免图片太混论，我们用7个波叠加的图。

鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。
小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。
当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。

这里需要纠正一个概念：时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。

在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了最下面的相位谱。所以，频谱是从侧面看，相位谱是从下面看。

四、傅里叶变换（Fourier Transformation）

通过前面三章，对频域以及傅里叶级数都有了一个全新的认识。但是文章在一开始关于钢琴琴谱的例子我曾说过，这个栗子是一个公式错误，但是概念典型的例子。所谓的公式错误在哪里呢？

傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的（离散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的。

傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。

而在我们接下去要讲的傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。

或者我们也可以换一个角度理解：傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。

所以说，钢琴谱其实并非一个连续的频谱，而是很多在时间上离散的频率，但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。

因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢？

你见过大海么？

为了方便大家对比，我们这次从另一个角度来看频谱，还是傅里叶级数中用到最多的那幅图，我们从频率较高的方向看。

以上是离散谱，那么连续谱是什么样子呢？

尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续……

直到变得像波涛起伏的大海：

通过这样两幅图去比较，大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧？原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。

不过，这个故事还没有讲完，接下去，我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的图片，但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事继续，这个工具就是——

五、宇宙耍帅第一公式：欧拉公式

虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1的平方根，可是它真正的意义是什么呢?

这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。
当它乘以3的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段。
而当它乘以-1的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了180度。

我们知道乘-1其实就是乘了两次 i使线段旋转了180度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了90度。

同时，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面。这样我们就了解到，乘虚数i的一个功能——旋转。

现在，就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——

这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于Pi的时候。

这个公式里既有自然底数e，自然数1和0，虚数i还有圆周率pi

这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义：

欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。
如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。
而右侧的投影则是一个正弦函数。

六、指数形式的傅里叶变换

有了欧拉公式的帮助，我们便知道：正弦波的叠加，也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢？

光波

高中时我们就学过，自然光是由不同颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：

所以其实我们在很早就接触到了光的频谱，只是并没有了解频谱更重要的意义。

但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从0到无穷所有频率的组合。

这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：

第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。

另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：

将以上两式相加再除2，得到：

这个式子可以怎么理解呢？

我们刚才讲过$e^{it}$可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么$e^{-it}$则可以解为一条顺时针旋转的螺旋线。
而$cos(t)$则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！

这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率（注意不是复频率）。

好了，刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱，现在想一想，连续的螺旋线会是什么样子：

是不是很漂亮？

你猜猜，这个图形在时域是什么样子？

顺便说一句，那个像大海螺一样的图，为了方便观看，仅仅展示了其中正频率的部分，负频率的部分没有显示出来。

好了，讲到这里，相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了，我们最后用一张图来总结一下：

转载自：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
作 者：韩 昊
知 乎：Heinrich
微 博：@花生油工人
知乎专栏：与时间无关的故事
作 者：谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。