PADE近似原理及算例

基本原理

PADE近似是以有理分式的形式对目标函数$f(x)$进行逼近的。假如以零点为领域，其具体形式如下所示：
$$R_{m,n}=\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p_0+p_{1}x+p_2{x}^2+\cdots +p_m{x}^m}{1+q_{1}x+q_2{x}^2+\cdots +q_n{x}^n}\text{\hspace{1em}(0)}$$

分子$p(x)$是m阶多项式，$q(x)$是n阶多项式，$R_{m,n}$也被称作是函数$f(x)$的$[m,n]$阶PADE近似。

算例1:$e^x$的PADE近似

基本思想：利用$f(x)$在x=0处，m+n阶泰勒展开表达式，求解PADE近似$R_{m,n}$的系数：
$$f(x)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}+\cdots +\frac{f^{(m+n)}(0)}{n!}+O(x^{m+n})\text{\hspace{1em}(1)}$$
$$f(x)=R_{m,n}(x)+O(x^{m+n})\text{\hspace{1em}(2)}$$

在上述公式中，（1）和（2）相等，所以我们可以将（1）和（2）联立求解$R_{m,n}$的系数。
以$f(x)=e^x$的$[1,1]$阶PADE近似为例，具体如下：
$$\begin{gathered} 1+x+\frac{1}{2}{x}^2=\frac{p_0+p_{1}x}{1+q_{1}x} \\ \downarrow \\ {p}_0+p_{1}x=(1+x+\frac{1}{x}{x}^2)(1+q_{1}x) \end{gathered}$$

将2阶以上的高阶项忽略，等式左右两边系数相同，所以得到如下式子：
$$\{\begin{array}{l}{p}_0=1\\ p_1=1+q_1\\ \frac{1}{2}+q_1=0\end{array}$$

求解所得，如下所示：
$$\{\begin{array}{l}{p}_0=1,\\ q_1=-0.5,\\ p_1=0.5,\end{array}$$

所以，$f(x)=e^x$的$[1,1]$阶PADE近似，具体如下所示：
$$e_{P{A}_{1,1}}^x\approx \frac{1+0.5x}{1-0.5x}$$

MATLAB实现

使用Matlab求解Pade近似表达式。Matlab求解$e^x$的$[1,1],[2,2],[3,3]$阶PADE近似，具体如下所示：

clc; clear;
syms x;
pade(exp(x),x,0,'Order',[1 1])
pade(exp(x),x,0,'Order',[2 2])
pade(exp(x),x,0,'Order',[3 3])

% pade(sin(x),x,0,'Order',[1,1])
% pade(sin(x),x,0,'Order',[2,2])
% 
% taylor(sin(x),x,'Order',1)

hold on;fplot(exp(x),'r-*','linewidth',3)

fplot(pade(exp(x),x,0,'Order',[1,1]),'g','LineWidth',1)
fplot(pade(exp(x),x,0,'Order',[2,2]),'b','LineWidth',2)
fplot(pade(exp(x),x,0,'Order',[3,3]),'k','LineWidth',3)

grid on;axis([-2 2 0 8]);legend('exp(x)','[1,1]','[2,2]','[3,3]')

相关参考

1. 鲸大鱼的自我修养关于Pade近似的相关blog