最初碰到这个问题是在《信号与系统》这门课程上面，陈后金《信号与系统》书上的推导是根据一个时域和频域可以互相推导的性质来的，当时傅里叶变换也没学明白，其实是理解不了那个性质的。但是殊途同归，利用性质可以推出来，利用概念也一定可以推出来。
我们以求解$sin(t)和cos(t)$的傅里叶变换为例，先展示最后一步，经过推导后在数学上是一个关于$cos(t)$的无穷积分如下面的公式所示(需要用到一点高数上学的无穷积分的知识)。
${\int }_{-\infty }^{+\infty }\cos (\omega t)dt=\underset{a\to \infty }{\lim }{\int }_{-a}^a\cos (\omega t)dt=\underset{a\to \infty }{\lim }2\frac{\sin (a\omega )}{\omega }=2\delta \left(\omega \right)$
以下四个公式都可以经过简单的变换推导到上面的公式，需要用到欧拉公式进行变换，主要能解决俩个问题：
《信号与系统》关于$sin(t)和cos(t)$的傅里叶变换。
《高等疏学》关于$sin(x)和cos(x)$的无穷积分。本质上是一样的。
$$\begin{array}{l}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\cos (x)dx\\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }\cos (w_{0}x)e^{-j\omega x}dx\\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }\sin (w_{0}x)e^{-j\omega x}dx\\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-j\omega x}dx\end{array}$$