ER网络

1.ER网络的生成方式

知识背景

定义：

1. G(N,P)模型

   一个随即图是由N个节点构成，并且每对节点之间的连接概率为p
   

2. G(N,L)模型

   一个随即图由N个节点构成，并且有L条边随机放置在L对节点之间(不出现重边和自环)
   

边数分布

在G(N,P)生成模型中，生成的随即网络中的边数是一个随机变量

$P(L):$对于一个含有$N$个节点以及连边概率为$p$的随即网络，网络中恰好含有$L$条边的概率

$P(L)=C_{C_N^2}^L{p}^L(1-p{)}^{C_N^2-L}$,$P(L)$服从二项分布

$C_N^2$:含有$N$个节点的网络最多含有的连边数

$C_{C_N^2}^L$:从总的连边数中选择$L$条边的所有不同方式

可以得到$ER$随机网络的一些特性：

• 边数分布的平均值$<L>=p{C}_N^2=\frac{pN(N-1)}{2}$
• 平均度$<k>=p(N-1)$
• 边数分布的方差$<{\sigma }^2>=p(1-p)C_N^2=\frac{p(1-p)N(N-1)}{2}$

ER网络的生成

通过调节连接边的概率$p$,可以得到对应不同的平均度，产生不同的网络

各种形式下对应网络的性质

2.ER网络的基本性质

度分布

随机网络的度分布满足如下形式：

$p(k)=C_{N-1}^k{p}^k(1-p{)}^{(N-1-k)}$

$p(k):$网络中选择一个节点，其度为$k$的概率

$N$:网络中节点的总数

$p$:给定的连接边的概率

则平均度:$<k>=p(N-1)$

若$N$很大且$p$很小时,我们可以得到其满足泊松分布

$p(k)=e^{-<k>}\frac{<k{>}^k}{k!}$

平均距离

随机网络往往具有树形拓扑结构，节点度几乎恒定

在$ER$随机网络中，可以估算出其最大平均距离为：

集聚系数

$C_i=\frac{2<L_i>}{k_i{k}_{i-1}}$

由于在$ER$网络中连边是相互独立并且两节点之间存在连边的概率为$p$

则:$<l_i>=p\frac{k_i(k_i-1)}{2}$

从而可以得出:$<C_i>=p=\frac{<k>}{N-1}$

性质:

• 随即网络的集聚系数$C$很小
• 固定网络的平均度，集聚系数$C$随网络规模$N$的增大而减小
• 集聚系数$C$独立于节点的度