在SLAM（Simultaneous Localization and Mapping，即同时定位与地图构建）领域中，四元数是一种用于表示旋转的有效方法。四元数 ( q ) 和它的负数 ( -q ) 实际上代表相同的物理旋转，但它们在数学表达上有细微的不同。

四元数 ( q ) 与 ( -q )

• 等效性：四元数 ( q ) 和 ( -q ) 表示相同的旋转。这是因为四元数的实部和虚部都取相反数时，相当于将旋转轴反向，同时旋转角度也变为相反方向，这两个变化相互抵消，因此最终的旋转效果是相同的。

• 数值差异：尽管 ( q ) 和 ( -q ) 在几何意义上等价，但在数值计算和存储时，它们是不同的。例如，在SLAM算法中，当使用四元数进行状态估计或数据关联时，如果不对四元数进行适当的归一化处理，可能会导致数值上的不一致，进而影响到算法的性能。

• 选择问题：在实际应用中，有时需要选择一个标准形式来避免这种二义性。例如，可以选择使四元数的实部 ( w ) 非负，或者选择使得四元数的模最大的元素非负，以此来标准化四元数，确保唯一性。

结论

总的来说，在SLAM中，虽然四元数 ( q ) 和 ( -q ) 表示相同的旋转，但是为了保证数值稳定性和算法的一致性，通常会采取措施来消除这种二义性。这可以通过标准化四元数来实现，确保所有使用的四元数都遵循同一套规则。

四元数的基本性质

一个单位四元数 $q$ 可以表示为：
$$q=\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\mathbf{n}$$
其中：

• $\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)$ 是四元数的实部。
• $\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\mathbf{n}$ 是四元数的虚部。
• $\mathbf{n}$是单位向量，表示旋转轴。
• $\theta$ 是旋转角度。

四元数 $-q$

四元数 $-q$可以表示为：
$$-q=-\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)-\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\mathbf{n}$$

旋转的几何意义

1. 四元数 $q$ 的旋转：

   • 实部：$\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)$
   • 虚部：$\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\mathbf{n}$
   • 表示绕 $\mathbf{n}$ 旋转 $\theta$

2. 四元数 $-q$ 的旋转：

   • 实部：$-\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)$
   • 虚部：$-\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\mathbf{n}$
   • 表示绕 $-\mathbf{n}$ 旋转 $-\theta$

考虑四元数的旋转公式：

我们可以用四元数表达对一个点的旋转。假设有—个空间三维点 $p=[x,y,z]\in {\mathbb{R}}^3$，以及一个由单位四元数$q$ 指定的旋转。三维点 $p$ 经过旋转之后变为$p^{\prime }$ 。如果使用矩阵描述，那么有$p^{\prime }=Rp$ 。而如果用四元数描述旋转，它们的关系又如何表达呢？

首先，把三维空间点用一个虚四元数来描述：

$p=[0,x,y,z{]}^T=[0,v{]}^T$

相当于把四元数的 3 个虚部与空间中的 3 个轴相对应。那么，旋转后的点 $p^{\prime }$可表示为这样的乘积：

$p^{\prime }=qp{q}^{-1}$

其中 $q^{-1}$ 是 $q$的逆四元数，对于单位四元数$q$，其逆四元数就是其共轭四元数$q^{\ast }$：
$q^{\ast }=[w,-x,-y,-z]$，这里的乘法均为四元数乘法，结果也是四元数。最后把$p^{\prime }$的虚部取出，即得旋转之后点的坐标。

旋转公式的推导

1. 四元数$q$ 的旋转：
   ${\mathbf{v}}^{\prime }=q\mathbf{v}{q}^{-1}$
   其中 $q^{-1}$ 是 $q$ 的逆，对于单位四元数$q$，有 $q^{-1}=q^{\ast }$（共轭）：
   $q^{-1}=\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)-\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\mathbf{n}$

2. 四元数 $-q$ 的旋转：
   ${\mathbf{v}}^{\prime \prime }=(-q)\mathbf{v}(-q{)}^{-1}$
   其中 $(-q{)}^{-1}$ 是$-q$ 的逆，对于单位四元数 $-q$，有$(-q{)}^{-1}=-q^{\ast }$：
   $(-q{)}^{-1}=-\left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)-\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\mathbf{n}\right)$
   $(-q{)}^{-1}=-\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\mathbf{n}$

旋转等价性的证明

1. 四元数 ( q ) 的旋转：
   ${\mathbf{v}}^{\prime }=\left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\mathbf{n}\right)\mathbf{v}\left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)-\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\mathbf{n}\right)$

2. 四元数 ( -q ) 的旋转：
   ${\mathbf{v}}^{\prime \prime }=\left(-\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)-\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\mathbf{n}\right)\mathbf{v}\left(-\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\mathbf{n}\right)$

   由于乘法的性质，我们可以提取负号：
   ${\mathbf{v}}^{\prime \prime }=\left(-1\right)\left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\mathbf{n}\right)\mathbf{v}\left(-1\right)\left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)-\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\mathbf{n}\right)$
   ${\mathbf{v}}^{\prime \prime }=\left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\mathbf{n}\right)\mathbf{v}\left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)-\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\mathbf{n}\right)$
   ${\mathbf{v}}^{\prime \prime }={\mathbf{v}}^{\prime }$