1. 背景

在多任务学习中，我们有多个任务（例如任务 A 和任务 B），每个任务有自己的损失函数 $L^{tk}$ 。为了平衡这些任务，我们需要为每个任务分配一个权重$w^{tk}$ 。使得每个任务对总损失的贡献相对均衡。

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2. 梯度归一化的核心思想

梯度归一化的目标是让每个任务的梯度大小（即损失函数对模型参数的导数）相对均衡。如果某个任务的梯度太大，说明它对模型的影响过大，我们需要降低它的权重；反之，如果梯度太小，则需要增加它的权重。

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3. 简单例子

假设我们有两个任务：

• 任务 A：预测响应时间，损失函数为 $L^A。$
• 任务 B：预测吞吐量，损失函数为$L^B。$

步骤 1：计算每个任务的梯度

• 计算任务 A 的梯度 $(\nabla {\mathcal{L}}^A)$
• 计算任务 B 的梯度 $(\nabla {\mathcal{L}}^B)$

步骤 2：计算每个任务的梯度范数

• 计算任务 A 的梯度范数 $(||\nabla {\mathcal{L}}^A\Vert )$（即梯度的长度）。
• 计算任务 B 的梯度范数 $(||\nabla {\mathcal{L}}^B\Vert )$。

步骤 3：计算初始权重

假设初始权重为 $(w^A=1)$和$(w^B=1)$。

步骤 4：调整权重

根据梯度范数调整权重：

• 如果$(||\nabla {\mathcal{L}}^A\Vert )$远大于$(||\nabla {\mathcal{L}}^B\Vert )$，说明任务 A 的梯度对模型的影响更大，我们需要降低任务 A 的权重 $w^A$。
• 反之，如果$(||\nabla {\mathcal{L}}^B\Vert )$更大,则降低任务 B 的权重 $w^B$。

具体公式可以简化为：
$$[w^{tk}=\frac{1}{\Vert \nabla {\mathcal{L}}^{tk}\Vert }]$$
这样，梯度范数越大的任务，权重越小。

步骤 5：归一化权重

为了让权重总和为 1，可以对权重进行归一化：
$$[w^A=\frac{w^A}{w^A+w^B},w^B=\frac{w^B}{w^A+w^B}]$$

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4. 具体计算示例

假设：

• 任务 A 的梯度范数 $(\Vert \nabla {\mathcal{L}}^A\Vert =5)$。
• 任务 B 的梯度范数$(\Vert \nabla {\mathcal{L}}^B\Vert =2)$。

计算初始权重：

$$[w^A=\frac{1}{5}=0.2,w^B=\frac{1}{2}=0.5]$$

归一化权重：

$$[w^A=\frac{0.2}{0.2+0.5}=\frac{0.2}{0.7}\approx 0.29]$$
$$[w^B=\frac{0.5}{0.2+0.5}=\frac{0.5}{0.7}\approx 0.71]$$

结果：

• 任务 A 的权重为 0.29。
• 任务 B 的权重为 0.71。

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5. 总结

梯度归一化的核心思想是通过调整每个任务的权重，使得它们的梯度大小相对均衡。具体步骤包括：

1. 计算每个任务的梯度。
2. 计算每个任务的梯度范数。
3. 根据梯度范数调整权重。
4. 归一化权重，使其总和为 1。

通过这种方法，模型可以更好地平衡多个任务，避免某个任务主导训练过程。