最近一直在从事单目相机测距相关工作，相机模型是一个绕不过的知识点，索性趁此总结，以供后续查阅。

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1.前置知识

进行相机模型介绍前，需要对基本的坐标系变换公式有一个了解。

1.1 坐标系旋转公式

图1.坐标轴旋转图示

如图1所示：(右手坐标系)直角坐标系 $x^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$绕$z^{\prime }$轴顺时针旋转 $\theta$ 角度，得到新坐标系

$xyz$，则原来的坐标系下R点坐标$[x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }]$与新坐标系下R点坐标$[x,y,z]$关系为：

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & -sin\theta & 1\\ sin\theta & cos\theta & 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]$=R1$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]$

同理：绕$x$，$y$轴顺时针旋转$\varphi$,$\omega$ :

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos\varphi & -sin\varphi \\ 0& sin\varphi & cos\varphi \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]$=R2$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{ccc}cos\omega & 0& sin\omega \\ 0& 1& 0\\ -sin\omega & 0& cos\omega \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]$=R3$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]$

故可得旋转向量: $R=R_1\ast R_2\ast R_3$

PS：若为右手坐标系绕z轴逆时针旋转则：

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & sin\theta & 1\\ -sin\theta & cos\theta & 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]$=R1$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]$

1.2 坐标系平移公式

若坐标系无旋转，前后仅平移，则

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]$+$\left[\begin{array}{c}{x}_T\\ y_T\\ z_T\end{array}\right]$

1.3 坐标系转换公式

所有坐标系（无缩放）转换过程均可分解为以上两个过程，即先旋转到指定坐标系方向，再平移过去，数学表示如下

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$=$R$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]$+$\left[\begin{array}{c}{x}_T\\ y_T\\ z_T\end{array}\right]$

齐次坐标表示：

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{cc}{R}_{3X3}& T_{3X1}\\ O& 1\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$

引入齐次坐标的好处：

参考：Explaining Homogeneous Coordinates & Projective Geometry

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2. 相机投影公式

2.1 坐标系介绍

在进行相机投影公式推导前，需先对相关坐标系进行声明:

图2.坐标系图示

如图2所示，相机投影中涉及到以下四个坐标系：

• $O_w{X}_w{Y}_w{Z}_w$:世界坐标系，一般为自定义坐标系
• $O_c{X}_c{Y}_c{Z}_c$:相机坐标系，光心为原点
• $oxy$:图像坐标系，原点为图像中心，单位为mm
• $uv$:像素坐标系，原点为图像左上角，单位为pixel

2.2 世界坐标系到相机坐标系坐标转换

图3.世界坐标系->相机坐标系图示

世界坐标系到相机坐标系的转换只涉及到坐标系的旋转平移过程，可得

$\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\end{array}\right]$=$R$$\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\end{array}\right]$+$T$

齐次坐标表示：

$\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\\ 1\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{cc}{R}_{3X3}& T_{3X1}\\ O& 1\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\\ 1\end{array}\right]$

2.3 相机坐标系到图像坐标系坐标转换

图4.相机坐标系->图像坐标系图示(小孔成像模型)

小孔成像模型下，相机坐标系->图像坐标系的坐标转换由简单的相似三角形推导可得：

2.4 图像坐标->像素坐标

2.5 总结：各坐标系间转换关系

1. 世界坐标系->像素坐标系

$Z_C$$\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{dX}& 0& u_0\\ 0& \frac{1}{dY}& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{cccc}f& 0& 0& 0\\ 0& f& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{cc}{R}_{3X3}& T_{3X1}\\ O& 1\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\\ 1\end{array}\right]$ =
$\left[\begin{array}{cccc}{f}_x& 0& u_0& 0\\ 0& f_y& v_0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{cc}{R}_{3X3}& T_{3X1}\\ O& 1\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\\ 1\end{array}\right]$

其中：

$\left[\begin{array}{cccc}{f}_x& 0& u_0& 0\\ 0& f_y& v_0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$即为内参矩阵

$f_x,f_y$为相机焦距，$u_0,v_0$为相机光轴与相机成像平面的交点在像素坐标系下的坐标。

$\left[\begin{array}{cc}{R}_{3X3}& T_{3X1}\\ O& 1\end{array}\right]$为相机外参

2. 相机坐标系->像素坐标系

$Z_C$$\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{cccc}{f}_x& 0& u_0& 0\\ 0& f_y& v_0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\\ 1\end{array}\right]$

3. 畸变模型补充

参考:

1. bilibili视频
2. opencv官方介绍
3. 摄像机标定(1) 标定中的四个坐标系（有部分错误）