1.1 静态稳定性标准

步行机器人稳定:
如果步行机器人其重心(COG)的水平投影位置在由所有支撑足构成的支撑多边形内部，则步行机器人是静态稳定的。

稳定裕度($S_{SM}$)(McGhee&Frank)

从COG投影到支撑多边形的最短距离

->稳定裕度短->机器人接近不稳定

纵向稳定裕度($S_{LSM}$)(Zhang&Song)
在机器人纵轴方向，从COG到支撑多边形边界的最短距离。

考虑到COG高度以及运动学和动力学参数，引入:

能量稳定裕度($S_{ESM}$)(Messuri)
$$\begin{gathered} S_{ESM}=min(mg{h}_i) \\ {h}_i=|R_i|(1-cos\theta )cos\psi \end{gathered}$$
i—支撑多边形作为旋转轴的分段

$h_i$—翻滚时COG高度的变化

$R_i$—从COG到旋转轴的矢量

$\theta$—$R_i$与垂直平面形成的角度

$\psi$—相对于水平面旋转的倾斜角

归一化能量稳定裕度($S_{NESM}$)（Hirose）
$$S_{NESM}=\frac{S_{ESM}}{mg}=min(mg{h}_i)$$

1.2 动态稳定性标准

动态稳定裕度($S_{ZMP}$)(Orin)

COP距支撑多边形边缘的最小距离。

压力中心(COP)

对于动态稳定的机器人，作用在COG上的力，沿着COG点合力方向的投影位于支撑多边形内的则稳定

有效质量中心(EMC)为支撑平面上的点，此点处由地面反力引起的力和力矩均为零。

动态稳定裕度($S_{DSM}$)(Lin&Song)

COG点的动态平衡满足
$$\begin{gathered} F_I=F_S+F_G+F_M \\ {M}_I=M_S+M_G+M_M \end{gathered}$$
其中I、S、G、M分别表示惯性、支撑、重力和操纵影响。
$$S_{DSM}=min(\frac{M_i}{mg})=min[\frac{e_i(F_R\times P_i+M_R)}{mg}]$$
其中$P_i$—从COG到第i支撑足的位置矢量

​ $e_i$—以顺时针方向绕支撑多边形的单位矢量

翻滚稳定裕度($S_{TSM}$)(Yoneda&Hirose)
$$S_{TSM}=min(\frac{|M_i^{‘}|}{mg})$$
力一角稳定标准$S_{FASM}$(Papadopoulos&Rey)
$$S_{FASM}=min({\alpha }_i)||F_R||$$

归一化动态能量稳定裕度$S_{NDESM}$(Ghasempoor&Sepehri)
$$S_{NDESM}=\frac{min(E_i)}{mg}$$

其中$E_i$表示支撑多边形的第i侧的稳定性度量，即绕机器人支撑多边形翻滚的第i侧所需的机械能增量
$$E_i=mg|R|(cos\varphi -cos\phi )cos\psi +(F_{RI}\cdot t)|R|\theta +(M_R\cdot e_i)\theta -1/2I_i{\omega }_i^2$$
R—指向COG位置与支撑多边形的第i侧垂直的正交矢量

$F_{RI}$—合力的非重力分量/地面作用力$F_R$

$I_i$—绕旋转轴i的惯性力矩

${\omega }_i$—COG的角速度

$\psi$—支撑多边形的第i侧的倾斜角度

$\phi$—在垂直平面内定位COG所需的旋转角度

$\varphi$—COG从垂直平面旋转到临界平面的角度，其中作用在COG全国合力消失

$\theta$—两个旋转的相加

1.3 稳定裕度的比较

直接给实验结论了

不平坦地形	机器人动力	操纵动力	$S_{SM}$	$S_{NESM}$	$S_{DSM}$	$S_{TSM}$	$S_{FASM}$	$S_{ZMP}$	$S_{NDESM}$
否	否	否	$\surd$	*	$\surd$	$\surd$	*	$\surd$	*
否	是	否	$\times$	$\times$	$\surd$	$\surd$	*	$\surd$	*
否	是	是	$\times$	$\times$	$\surd$	$\surd$	$\surd$	$\surd$	*
是	否	否	$\surd$	*	$\surd$	$\surd$	$\surd$	$\surd$	*
是	是	否	$\times$	$\times$	$\surd$	$\surd$	$\surd$	$\surd$	*
是	是	是	$\times$	$\times$	$\surd$	$\surd$	$\surd$	$\surd$	*

稳定裕度分类表 $\surd$ : 有效 $\times$: 无效 * : 最合适

运算类型	$S_{SM}$	$S_{NESM}$	$S_{DSM}$	$S_{TSM}$	$S_{FASM}$	$S_{ZMP}$	$S_{NDESM}$
加法	17n	33n	44n	86n	109n	67n	60n
乘积	13n	23n	39n	90n	117n	70n	57n
三角函数	—	—	—	—	3n	—	3n
平方根	n	2n	2n	3n	6n	2n	3n

现有稳定性标准的计算复杂度

1.4 总结

$S_{SM}$和$S_{NESM}$仅适用于无动力，$S_{NESM}$最优

$S_{NDESM}$适合最广且优