在机器人的控制和轨迹规划等领域，算法结果常常能够得到机器人执行器的速度，如移动机器人的角速度和线速度。在有些仿真情况下，或是其它需要实时更新机器人的运动状态时，我们常常需要根据这些计算出的速度参数（控制率）对机器人的位姿姿态进行更新。这就涉及到了角速度与旋转矩阵之间的对应转换关系。本文将简要给出一种它们之间的转换关系，并在后半部分着重介绍转换出的姿态矩阵在不同情况下的左乘、右乘的不同意义，这一问题也曾经让作者混淆了很久。

一. 控制率与位姿变换矩阵( 4×4 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1">4\times 4</script>)的转换

　　这里主要以Peter corke的视觉伺服工具箱中给出的转换方法为例，事实上，更为详尽的转换方式可以去了解一下指数映射关系，可以参见白老师的文章《 lie group and computer vision : 李群、李代数在计算机视觉中的应用》。
　　我们知道，一个变量的导数等于它本身再乘以一个系数。对于三维空间中的旋转矩阵来说，有如下表达式：

二. 那么问题来了：

1. 问题描述

　　上述控制率与位姿变换矩阵的转换关系在视觉伺服工具箱中对应于 delta2tr( v <script type="math/tex" id="MathJax-Element-20">v</script>)和tr2delta(T0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-21">T_0</script>, T1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-22">T_1</script>)这两个函数。书中给出了一个具体的例子：

2. 左乘与右乘的不同情况及意义

　　首先来说例1中的左乘。对于左乘的情况，需要弄清楚的一点是，例1中 T0 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1411">T_0</script>、 T1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1412">T_1</script>表示的是目标姿态在相同的参考坐标系（默认为世界坐标系）下的表示，因此，在这个例子中 tr2delta（d）求出的速度参数 v <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1413">v</script>也是表示在这个坐标系下的。
　　所以，速度参数v<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1414">v</script>对应的姿态转换矩阵 △T=delta2tr（d） <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1415">\triangle T=delta2tr（d）</script>也是相对于这个世界坐标系来表示的。因此，当从状态 T0 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1416">T_0</script>转换到状态 T1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1417">T_1</script>时，需要被 T0 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1418">T_0</script>左乘（如果不理解为什么在世界坐标系下的速度对应的矩阵需要左乘，可以自己假想一下下面的场景）：
　　
　　位姿 T0 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1419">T_0</script>和位姿 T1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1420">T_1</script>都是在世界坐标系下表示的，在 T0 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1421">T_0</script>位姿时，使其以速度 v <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1422">v</script>进行运动，其对应的姿态转换矩阵为△T<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1423">\triangle T</script>。考虑一个虚拟的与世界坐标系 Cworld <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1424">C_{world}</script>重合的坐标系 B <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1425">B</script>，假定T0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1426">T_0</script>在坐标系 B <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1427">B</script>中固定不动，那么姿态变化矩阵△T<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1428">\triangle T</script>相当于坐标系 B <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1429">B</script>在世界坐标系Cworld<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1430">C_{world}</script>下的表示。即：

　　其次再说右乘。例2中算法所求出的摄像机运动速度 v <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1433">v</script>均是相对于当时摄像机自身坐标系来说的。因此，根据连杆矩阵变换，可以得到：

>> T0 = transl(1,2,3)*trotx(1)*troty(1)*trotz(1);
>> T1 = T0*transl(0.01,0.02,0.03)*trotx(0.001)*troty(0.002)*trotz(0.003)

T1 =

    0.2889   -0.4547    0.8425    1.0191
    0.8372   -0.3069   -0.4527    1.9887
    0.4644    0.8361    0.2920    3.0301
         0         0         0    1.0000

>> T1_in_0=inv(T0)*T1;
>> I=eye(4);
>> v=tr2delta(I,T1_in_0);
>> v'

ans =
    0.0100    0.0200    0.0300    0.0010    0.0020    0.0030