简介

在介绍卷积和相关运算之前，需要先认识一些更加基本的运算

翻折

• 设某一序列x(n)，则x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴，将x(n)加以翻折得到的
  

移位

• 设某一序列x(n)，m为正整数，x(n-m)表示x(n)逐项依次延时（右移）m位
• 左加右减规则：即x(n-m)表示逐项依次右移，x(n+m)表示逐项依次左移
• 注意：上述说法，当且仅当变量n的系数为1时，才成立。例如：对于序列x(-n-1)，需要变换成x(-(n+1))，变换顺序为$x(n)\to x(-n)\to x(-(n+1))$，即先翻折，再移位
  

和、积、累加、差分

• 和：$z(n)=x(n)+y(n)$
• 积：$z(n)=x(n)\cdot y(n)$
• 累加：$y(n)={\sum }_{k=-\infty }^{n}x(k)$，历史数据累积求和（Cumulative Sum）
• 差分：$y(n)=x(n)-x(n-1)$，一阶差分具有高通滤波效果

尺度变换

• 对于序列x(n)，形如x(mn)或者$x(\frac{n}{m})$（m为正整数）的序列，为x(n)的尺度变换序列
• 例如：当m=2，x(2n)是以低一倍的抽样频率从x(n)中，每隔两点取一点，这种运算也称为抽取，通常表示为$\downarrow 2$，实际运行中，通常保持0点对齐，取走奇数点，保留偶数点
  
• 类似地，$x(\frac{n}{2})$称为插值，先确定需要插值的位置，然后根据相邻的采样点确定值
  

线性卷积

• 定义式：$y(n)={\sum }_{m=-\infty }^{\infty }x(m)h(n-m)=x(n)\ast h(n)$
• 根据定义式，可知线性卷积包含四个步骤：翻折、移位、相乘（积）、累加
• 变换顺序$h(m)\to h(-m)\to h(-(m-n))$
• y(n)的计算
  • 当n=0，$y(0)={\sum }_{m=-\infty }^{\infty }x(m)h(-m)=0$
  • 当n=1，$y(1)={\sum }_{m=-\infty }^{\infty }x(m)h(-(m-1))=0.5$
  • 当n=2，$y(1)={\sum }_{m=-\infty }^{\infty }x(m)h(-(m-2))=0.5+1=1.5$
  • …

• 卷积满足交换律，即$y(n)=x(n)\ast h(n)=h(n)\ast x(n)$

• 设x(n)的长度为$N_1$，h(n)的长度为$N_2$，则y(n)的长度为$N_1+N_2-1$。原因：当$h(-(m-n))$移位至，h(0)与x(4)对齐时（如下图），对应的$y(N_1+N_2-1)=y(6)$必为0，因此包括y(6)及往后的值都是无意义的，$y(N_1+N_2-2)$是最后一个有意义的值，从而y(n)长度为$N_1+N_2-1$
  

• 线性卷积的另一种理解：线性卷积实际上是一个信号在另一个信号上的加权叠加

• 线性系统满足可加性和齐次性

  • 可加性：$x_1(n)+x_2(n)\to y_1(n)+y_2(n)$
  • 齐次性：$\alpha x(n)\to \alpha y(n)$

• 时不变系统表示：$x(n-m)=y(n-m)$，即系统的输出信号，与输入信号的施加时刻，没有关系

• 对于线性时不变系统，如果已知系统的单位冲激响应h(n)，那么将单位冲激响应与输入信号x(n)求线性卷积，就得到了输出信号y(n)
  

• 线性卷积的应用：模拟远场数据
  

圆周移位

• 定义式：$x_m(n)=x((n+m){)}_N{R}_N(n)$
• 其中
  • $x((n+m){)}_N$表示x(n)经过周期（N）延拓后的序列，再移位m
  • $R_N(n)$表示取主值序列
    $$R_N(n)=\{\begin{array}{ccc}& 1& ,0\le n\le N-1\\ & 0& ,others\end{array}$$
    

圆周卷积

• 如果$x_1(n)$和$x_2(n)$都是长度为N的有限长序列
  $$\begin{array}{rl}& 并且：DFT[x_1(n)]=X_1(k)，DFT[x_2(n)]=X_2(k)，Y(k)=X_1(k)X_2(k)\\ & 则：y(n)=IDFT[Y(k)]=[\sum _{m=0}^{N-1}{x}_1(m)x_2((n-m){)}_N]R_N(n)=[\sum _{m=0}^{N-1}{x}_2(m)x_1((n-m){)}_N]R_N(n)\\ & 定义为x_1(n)和x_2(n)的圆周卷积\end{array}$$
• 注意，与线性卷积相比，圆周卷积多了周期延拓和取主值序列两个步骤，因此必须指定圆周卷积的点数N
• 时域信号的圆周卷积等于，其对应傅里叶变换频域信号的乘积，再傅里叶逆变换为时域信号

线性卷积和圆周卷积的关系

• 给定两个有限长序列$x_1(n)，x_2(n)$，长度分别为$N_1=5，N_2=3$，研究线性卷积和圆周卷积的点数为$N_1$范围内的值
  
• 这两个序列的线性卷积和圆周卷积结果如下
  
• 一般地，如果两个有限长序列的长度为$N_1，N_2$，且满足$N_1\ge N_2$，则圆周卷积的后$N_1-N_2+1$个点，与线性卷积的结果一致。原因：当$x_2(n)$完全移入$x_1(n)$后，即移$N_2-1$位后，线性卷积和圆周卷积结果一致，因此剩余的$N_1-(N_2-1)$位中，线性卷积和圆周卷积结果一致

线性相关

• 定义式：$r_{xy}(m)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }x(n)y^{\ast }(n-m)$
• 注意
  • 相关运算没有翻折的步骤
  • 当y(n)为复数序列时，需要取共轭
  • 不满足交换律

圆周相关

• 如果$x_1(n)$和$x_2(n)$都是长度为N的有限长序列
  $$\begin{array}{rl}& 并且：DFT[x_1(n)]=X_1(k)，DFT[x_2(n)]=X_2(k)，R_{xy}(k)=X_1(k)X_2^{\ast }(k)\\ & 则：r_{xy}(m)=IDFT[R_{xy}(k)]=[\sum _{n=0}^{N-1}{x}_1(n)x_2^{\ast }((n-m){)}_N]R_N(m)=[\sum _{n=0}^{N-1}{x}_2^{\ast }(m)x_1((n+m){)}_N]R_N(m)\\ & 定义为x_1(n)和x_2(n)的圆周相关\end{array}$$
• 一般地，如果两个有限长序列的长度为$N_1，N_2$，且满足$N_1\ge N_2$，则圆周相关的前$N_1-N_2+1$个点，与线性相关的结果一致