偏导

1.多元隐函数的偏导

• 令F=…
• $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}$ …
  注意：在求多元隐函数的二次偏导时，要注意z是x的函数，z可能是x与y的函数

全微分及偏导的应用

1.多元函数的全微分：
eg：$W=x+2y^2+3z^2$
$dw=\frac{\partial w}{\partial x}dx+\frac{\partial w}{\partial y}dy+\frac{\partial w}{\partial z}dz$

2.多元复合函数的全微分
eg:$Z=u^3+v^3$
$u=x+y$
$v=3x+5y$
求dz
$dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$
再把du和dv求出来，直接带进去就好，不用化简

3.已知全微分，求未知数
eg：已知$(x^2+axy)dx+(x^2+3y^2)dy$为某函数全微分，确定a的值
解法：$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$
再求二次偏导相等就好

4.多元函数求极值或极值点

• 求出满足$\frac{\partial z}{\partial x}=0,\frac{\partial z}{\partial y}=0$的x，y
• 设A=$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2},C=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2},B=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$,将第一步的结果带入，算出A,B,C。
• 算$AC-B^2$,若>0有极值，A<0有极大值，A>0有极小值
• 若=0，不确定
• 若<0,不是极值点

5.条件极值
$作拉格朗日函数L=原函数+\lambda 条件函数$
$L_x=0L_y=0L_z=0L_{\lambda =0}$求解，一般列出三个即可。
6.一些注意点：
偏导连续$\to$函数可微$\to$偏导存在以及函数连续，偏导存在和函数连续不能互推

空间向量

1.求一个向量$\vec{a}$在另一个向量$\vec{b}$方向上的投影

• 投影大小：$\frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{b}|}$
• 纯投影：要乘$\vec{b}$的单位向量

2.向量叉乘
用矩阵算

• $若\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b},\vec{c}垂直于\vec{a},\vec{b}$
• 若两向量平行，叉乘为0

空间几何

1.求过三个点的平面方程
设$Ax+By+Cx+D=0$
带入三个点结果有D，把D约掉就行
2.判断面与面，面与向量的关系

• 向量间点乘为0则是垂直，叉乘为0是平行
• $\vec{n}=(A,B,C)是平面的法向量$

3.已知一个面的法向量和一个点，求面
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
4.求点($x_0,y_0,z_0$)到面的距离
$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\surd A^2+B^2+C^2}$
5.求两个面的交线方程

• 一个大括号，里面是两个面的方程，表示两个面的交线方程

6.线与线，线与面的关系
若L：$\{\begin{array}{l}{A}_{1}X+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$
则$\vec{s}=(A_1,B_1,C_1)\times (A_2,B_2,C_2)//L$

换而言之：用此方法可以求出相交直线的方向向量
7.已知线过一点和方向向量$\vec{s}=(l,m,n)$，求线
L=$\frac{x-x_0}{l}\frac{}{}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$
提示：已知向量c垂直于a，b，用矩阵可以直接算出c
8.求点到直线的距离

• 求点在直线上的投影点，再用距离公式
• 如何求点在直线上的投影点
  联立直线方程和过该点以直线为法向量的方程，即可求出投影点。（两个方程）

9.求$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$形式的曲线在某点处的切线与法平面
切线的方向向量$(x^{,}(t_0),y^{,}(t_0),z^{,}(t_0))$

10.求x,y,z写在一起的曲线在某点处的切线与法平面

• 还是求导，但是两个导数可能要连立方程求出
• 自变量的个数为字母的个数减方程的个数

11.求曲线在某点处的法线与切平面
$法向量：（F_x^{,}（x_0,y_0,z_0）,F_y^{,}（x_0,y_0,z_0）,F_z^{,}（x_0,y_0,z_0）,）$
其他步骤与上述雷同

二重积分

1.交换积分次序
如求积分${\int }_0^{2}dx{\int }_x^2{e}^{-y^2}dy$的值
普通求求不出来
交换次序
${\int }_0^{2}dy{\int }_0^y{e}^{-y^2}dx$
2.计算$\int {\int }_{D}d\sigma$格式的二重积分

• 把区域写出来，$d\sigma$变成dx，dy

3.积分区域与圆有关的二重积分

• $x=rcos\theta$
  $y=rsin\theta$
  $dxdy=rdrd\theta$
• 写出r的上下限，$\theta$的上下限

4.积分区域对称的二重积分

• 关于y轴对称，若为x的奇函数，积分为0；若为x的偶函数，积分为双倍的一半区域的积分值
• 关于x轴对称同理
• 关于原点对称，$若f(-x,-y)=-f(x,y),则积分为0；若f(-x,-y)=f(x,y),则为双倍$
• 关于y=x对称
  $\int \int f(x,y)d\sigma =\int \int f(y,x)d\sigma$
  若f(x,y)=f(y,x),则为双倍
  若f(x,y)=-f(y,x),则为0
  5.应用
  可计算曲顶柱体的体积，平面薄片的质量，质心。

三重积分

1.先一后二法
eg：$\int \int {\int }_{\Omega }xdxdydz$,$\Omega$为三个坐标面和x+2y+z=1所围成的闭区域。

=${\int }_0^{1}dx{\int }_0^{(1-x)/2}dy{\int }_0^{1-x-2y}xdz$
2.先二后一
$\int \int \int z^{2}dxdydz$,$\Omega$是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1所围成的空间闭区域$
=$\int z^{2}dz\int {\int }_{D}dxdy=\pi ab{\int }_{-c}^c{z}^2(1-z^2/c^2)dz$
3.柱坐标

• x=$\rho cos\theta$
  y=$\rho sin\theta$
  z=z
  dv=$\rho d\rho d\theta dz$
  也是先一后二，先dz，再d$\rho$,$d\theta$

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）

被积函数的x与y都在曲线上
1.${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\varphi (t),\psi (t)]\sqrt{{\varphi }^{,2}(t)+{\psi }^{,2}t}dt$
有时候t可以是x，t可以是y
2.有时候积分是几段的拼接，就正常算极端加起来就好了，不用管顺序什么的。
3.性质

• 曲线积分的函数是1，积分就是L的长度
• L关于x轴对称，积分函数是y的奇函数，结果是0…
• …

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）

是有方向的
1.${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$,转换成一个未知数即可
2.利用性质计算

• 若$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial P}{\partial x}$,则积分与路径无关
• 格林公式（不封闭的补充成封闭）：若L为逆时针,无交叉，闭合曲线，
  则，${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial x})dxdy$
  若L为顺时针，${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=-\int (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial x})dxdy$
  3.关于对称性比较复杂，需要分类讨论

第一类曲面积分（对面积的曲面积分）

$\Sigma$为积分曲面
1.z=z(x,y)(在积分曲面上的Z)
$\int {\int }_{}f(x,y,z)ds=\int \int f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x^2(x,y)+z_y^2(x,y)}dxdy$（区域是投影面）
2.x=x(y,z),z=z(x,y)同理
3.如果有几个面，拆开算
4.如果f=1，求的是曲面的面积

第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）

都在面的表面
标志为：dxdy
1.从正面（坐标轴正向）看过去如果看得见面，则取正号，如果看不见，则取负号，如果是一条线，则为0
2.将三个未知量化成两个，注意正负号，作出投影面Dxy
3.第几卦限是按逆时针旋转的

判断级数的敛散性

1，判断正项级数的敛散性

• 正项级数每一项都是正的，并且是和的形式
• 首先看$li{m}_{n\to \infty }{u}_n=0$,不是就发散，是的话继续判断，再看$u_n中能否提出n次方，可以的话柯西判别法，看li{m}_{n\to \infty }\sqrt[n]{u_n},结果等于1，不能确定，小于1是收敛，大于1发散，如果不能提出n次方，就比值审敛法（达朗贝尔判别法），li{m}_{n\to \infty },\rho 的值的判别法与上述相同，最后是比较审敛法，可以是极限形式$
• 比较基准：（等比级数看的是绝对值，p级数不带绝对值）
  等比级数：$a{q}^n$，|q|<1时收敛，|q|>=1时发散
  p级数（p=1时为调和级数）：$\frac{a}{p^n}$,当p>1时收敛，p<=1时发散
  （比较时注意a+b，ab，$a^2+b^2$，的关系以及x>0时，x>sinx）

2.判断交错级数的敛散性（提到的Un均为正数部分）

• 正负或者负正交替
• 莱布尼茨定理判断：首先${\lim }_{n\to \infty }{u}_n是否趋近于0，否的话发散，若u_n>=u_{n+1},收敛$

3.判断绝对收敛/条件收敛（条件收敛这个名词值针对交错级数）

• 正项级数：发散就是发散，收敛就是绝对收敛
• 交错级数：发散就是发散，收敛若去掉符号仍旧收敛就是绝对收敛，反之为条件收敛

幂级数(${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x+b{)}^n$)

1.已知幂级数在某点收敛/发散，判断在另一个点是收敛还是发散
eg：若级数在x=$x_0$时收敛，$|x+b|<|x_0+b|$,在该点也是绝对收敛
若级数在x=$x_0$时发散，$|x+b|>|x_0+b|$,在该点就发散
2.求幂级数的收敛域/收敛区间（收敛域是带边界值的）

• b=0的情况
  $li{m}_{n\to \infty }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$
  R=$1/\rho$($\rho 不等于0$)
  R=正无穷（$\rho 等于0$）
  R=0($\rho =正无穷$)
• b不等于0
  令t=x+b
  算出收敛半径
  收敛区间为|t|<2,即算出x的范围，再算收敛域
• 级数缺少奇次幂或偶次幂时，上述定理不能直接使用，使用比值审敛法求收敛半径$lim|\frac{u_{n+1}}{u_n}|<1$

3.求幂级数在收敛域内的和函数S（x）（幂级数s（0）一般等于0或1,有时候不是，需要算一下）

• 求和函数一定要求收敛域
• 当an是分式形式时，先求导，再积分，
  $s(x{)}^{,}=.....$
  $s(x)={\int }_0^{x}s(x{)}^{,}dx$
• an不是分式形式时，先积分，再求导

微分方程

符合$y^{,}+P(x)y=Q(x)$的格式，求通解
1.Q（x）=0，则为一阶齐次线性微分方程
通解为$y=c{e}^{-\int p(x)dx}$
2.Q（x）不为0，只用常数变易法，将c换成u（x），求导，带入原式，求出$u^{,}(x)$，再求出u（x），得结果，
$y=e^{-\int p(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+c)$
3.遇到y/x类型的，将u设为y/x

纯公式：

三角函数相关公式

1.点火公式
${\int }_0^{\pi }si{n}^n\theta d\theta =2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^n\theta \text{d}\theta$

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^n\theta \text{d}\theta$=${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}co{s}^n\theta \text{d}\theta$
n为偶数：=$\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\frac{n-5}{n-4}...\frac{1}{2}\frac{\pi }{2}$
n为奇数：=$\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\frac{n-5}{n-4}...\frac{2}{3}$
2.三角变换
$cos2\theta =cos{\theta }^2-sin{\theta }^2$

积分变限函数求导

泰勒及麦克劳林公式

（此为麦克劳林公式，即为特殊的泰勒公式）

积分表