前言

定义：
1、超平面是指n维线性空间中维度为n-1的子空间。它可以把线性空间分割成不相交的两部分。比如二维空间中，一条直线是一维的，它把平面分成了两块；三维空间中，一个平面是二维的，它把空间分成了两块。
2、法向量是指垂直于超平面的向量。

过原点的超平面

假设在R³空间中，有一个过原点的超平面，其法向量为$\vec{\omega }$（$\omega$₁,$\omega$₂,$\omega$₃），过原点的平面内任意原点出发的向量$\vec{x}$，必有$\omega$^Tx = 0。
故超平面公式为：$\omega$^Tx = 0

非过原点的超平面

假设在R³空间中，有一个经过原点的超平面上下平移后的超平面，其法向量为$\vec{\omega }$（$\omega$₁,$\omega$₂,$\omega$₃），此时$\omega$^Tx = 0就不成立了。令超平面上有两点，它与原点分别组成向量x(x₁,x₂,x₃)和向量x$\prime$(x$\prime$₁,x$\prime$₂,x$\prime$₃)，不难看出平面上两点组成的向量必与法向量垂直。可得：

$$(x-x\prime )\omega =(x_1-x{\prime }_1,x_2-x{\prime }_2,x_2-x{\prime }_3)（{\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3）=0$$

化简后可得：
$$x_1\ast {\omega }_1+x_2\ast {\omega }_2+x_3\ast {\omega }_3=x{\prime }_1\ast {\omega }_1+x{\prime }_2\ast {\omega }_2+x{\prime }_3\ast {\omega }_3$$

$${\omega }^{T}x={\omega }^{T}x\prime$$

令 b = $\omega$^T x $\prime$，则可得
$${\omega }^{T}x+b=0$$

即最后超平面方程是 $\omega$^Tx + b = 0

点到超平面的距离

假设平面外一点x到超平面距离为d，即上图的红线长度。上图的$\theta$是向量xx $\prime$和红线距离的夹角。故可得：
$$\cos \theta =\frac{d}{||x-x\prime ||}$$
又因为红线和超平面法线平行，故向量xx $\prime$和法线夹角也为$\theta$。故|(x - x $\prime$)*$\omega$| = ||$\omega$|| * ||(x - x $\prime$)|| * $\cos$ $\theta$，联立两个方程，可得

$$d=\frac{|(x-x\prime )\omega |}{||\omega ||}=\frac{|\omega x-\omega x\prime |}{||\omega ||}=\frac{|\omega x+b|}{||\omega ||}$$