二维旋转矩阵和三维旋转矩阵的推导

二维旋转矩阵推导：点沿轴逆时针旋转度后变为点：有，则旋转矩阵为同理可得在三维坐标系（右手准则）下：绕轴逆时针旋转角度旋转矩阵为：绕轴逆时针旋转角度旋转矩阵为：绕轴逆时针旋转角度旋转矩阵为：则三维旋转矩阵为：...

生命长跑

8941人浏览 · 2019-09-28 16:10:09

生命长跑 · 2019-09-28 16:10:09 发布

二维旋转矩阵推导：

点 $A$ 沿 $Y$ 轴逆时针旋转 $\theta$ 度后变为点 ${A}'$ ：

有 $x={OA}cos\varphi$ ， $y={OA}sin\varphi$

${x}'= {OA}'cos(\varphi +\theta )={OA}'(cos\varphi cos\theta -sin\varphi sin\theta )=xcos\theta -ysin\theta$

${y}'={OA}'sin(\varphi +\theta )={OA}'(sin\varphi cos\theta +cos\varphi sin\theta )=ycos\theta +xsin\theta$

则旋转矩阵 $R$ 为 $\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$ 。

顺时针旋转时 $R$ 为 $\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$ 。

同理可得在三维坐标系（右手准则）下：

绕 $X$ 轴逆时针旋转 $\theta$ 角度旋转矩阵 $R_{x}$ 为： $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & cos\theta & -sin\theta \\ 0 & sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$ , $X$ 轴坐标不变， $YZ$ 平面旋转。

同理，绕 $Y$ 轴逆时针旋转 $\theta$ 角度旋转矩阵 $R_{y}$ 为： $\begin{bmatrix} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta \end{bmatrix}$ ，

绕 $Z$ 轴逆时针旋转 $\theta$ 角度旋转矩阵 $R_{z}$ 为： $\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 。

则三维旋转矩阵为： $R_{x}\cdot R_{y}\cdot R_{z}$

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