问题描述

你是否注意到北方城镇的某些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层玻璃且中间留有一定空隙，如图1左图所示，两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为的空气．据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失．我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的传导(即流失)过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗(如图2一l右图，玻璃厚度为2d)的热量传导进行对比．对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。

模型假设

我们需要对问题做一些假设：
1. 热量的传播过程只有传导，没有对流。即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的
2. 室内温度T1和室外温度T2保持不变，热传导过程已处于稳定状态。即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。
3. 玻璃材料均匀，导热系数是一个常数

模型构造

在上述假设下热传导过程遵循下面的物理定律：
厚度为d的均匀介质，两侧温度差为ΔT，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q与ΔT成正比，与d成反比，即
Q = k ΔT / d
k为热传导系数。

模型求解

• T1——室内温度
• T2——室外温度
• Ta——内层玻璃的外侧温度
• Tb——外层玻璃的内侧温度
• d ——单层玻璃厚度
• k1——玻璃的热传导系数
• k2——空气的热传导系数
• Q ——热量损失

对双层玻璃，由上述定律：
这里写图片描述

对单层玻璃，由上述定律：

二者比较：

玻璃 k1 = 4*10^-3 ~ 8*10^-3 J/cm*s*kw*h
空气 k2 = 2.5*10^-4 J/cm*s*kw*h

s = k1 / k2 = 16 ~ 32
做保守估计，取k1 / k2 = 16
可得

模型求解

使用matlab进行作图

x=0:0.1:10; 
y=1./(8*x+1); 
plot(x,y,'r:'); 
grid on 
xlabel('l/d'); 
ylabel('Q2/Q1'); 
title('Q2/Q1与l/d的关系图形'); 
syms l d;
f = 1 / (8 * l / d + 1);
ezmesh(f,[0.0001,0.005,0.0001,0.01],20);