首先了解“泛函数”概念：

        

通常的函数在  R或C（ n是自然数）中的集合上定义。泛函数常在 函数空间甚至抽象空间中的集合上定义，对集合中每个元素取对应值（实数或 复数）。通俗地说，泛函数是以函数作为变元的函数。泛函数概念的产生与变分学问题的研究发展有密切关系。
传统上， 泛函通常是指一种 定义域为函数，而值域为实数的“函数”。换句话说，就是从函数组成的一个 向量空间到 实数的一个 映射。也就是说它的输入为函数，而输出为实数。泛函的应用可以追溯到 变分法，那里通常需要寻找一个函数用来最小化某个特定泛函。在物理学上，寻找某个能量泛函的最小系统状态是泛函的一个重要应用。
变分法：
变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的 临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它分辨不出找到的是最大值还是最小值（或者两者都不是）。
变分法在 理论物理中非常重要：在 拉格朗日力学中，以及在 最小作用量原理在 量子力学的应用中。变分法提供了 有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有， 黎曼在 调和函数中使用狄力克雷原理。 最优控制的理论是变分法的一个推广。
同样的材料可以出现在不同的标题中，例如 希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者 辛几何。 变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的 测地线的研究是很显然的变分性质的领域。 极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau问题。
欧拉-拉格朗日方程：
欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 简称E-L方程，在力学中则往往称为拉格朗日方程。正如上面所说，变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的 临界点。
值得指出的是，E-L方程只是泛函有极值的 必要条件，并不是充分条件。就是说，当泛函有极值时，E-L方程成立。在应用中，外界给定的条件可以使得E-L方程在大多数情况下满足我们的需求。所以尽管下面我们要在比较强的条件下推导，并且这种推导在某些意义上有些不太严谨，完全可以在较弱的情况下予以完全严谨的证明，但是就我们所要用的层面而言，也是足够的了。

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